Collisione elastica

Newtoniano unidimensionale

Consideriamo due particelle, indicate con i pedici 1 e 2. Siano m1 e _{m2 le} masse, u1 e u2 le velocità prima della collisione e v1 e v2 le velocità dopo la collisione.

Usare la conservazione della quantità di moto per scrivere una formula

Poiché si tratta di una collisione elastica, la quantità di moto totale prima della collisione è uguale alla quantità di moto totale dopo la collisione. Dato che la quantità di moto (p) è calcolata come

p = m v {\displaystyle \\\, \!p=mv}

Possiamo calcolare che la quantità di moto prima della collisione sia:

m 1 u 1 + m 2 u 2{displaystyle \displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}

e la quantità di moto dopo l'urto essere:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {displaystyle \"m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Impostando i due uguali, otteniamo la nostra prima equazione:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {displaystyle \\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Usare la conservazione dell'energia per scrivere una seconda formula

La seconda regola che usiamo è che l'energia cinetica totale rimane la stessa, cioè l'energia cinetica iniziale è uguale all'energia cinetica finale.

La formula dell'energia cinetica è:

m v 2 2 {displaystyle {frac {mv^{2}{2}}

Quindi, usando le stesse variabili di prima: L'energia cinetica iniziale è:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {displaystyle {frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}+{frac {m_{2}u_{2}^{2}}}

L'energia cinetica finale è:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\an8}(1) + 2) + 2 + 2 + 2 + 2. }

Impostando i due come uguali (poiché l'energia cinetica totale rimane la stessa):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\an8}+frac {m_1}u_{1}^{2}}}+{frac {m_{2}u_{2}^{2}}}={frac {m_1}v_{1}^{2}}+{frac {m_2}v_{2}^{2}}. }

Mettendo insieme queste due equazioni

Queste equazioni possono essere risolte direttamente per trovare _vi quando ui è noto o viceversa. Ecco un esempio di problema che può essere risolto usando la conservazione della quantità di moto o la conservazione dell'energia:

Per esempio:

Palla 1: massa = 3 kg, v = 4 m/s

Palla 2: massa = 5 kg, v = -6 m/s

Dopo la collisione:

Palla 1: v = -8,5 m/s

Palla 2: v = sconosciuto (lo rappresenteremo con v)

Utilizzo della conservazione del momento:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. }

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v}

Dopo aver fatto la moltiplicazione, e poi sottraendo 3 ∗ ( - 8.5 ) {\displaystyle 3*(-8.5)} da entrambi i lati, otteniamo:

  12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {displaystyle \ 12-30+25,5=5*v}

Sommando la parte sinistra, poi dividendo per 5 {displaystyle 5} si ottiene:

7,5 5 = v {\displaystyle {\frac {7,5}{5}}=v} , e facendo la divisione finale si ottiene:   1.5 = v {\displaystyle \frac 1.5=v}

Avremmo anche potuto risolvere questo problema usando la conservazione dell'energia:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}{2}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}+{frac {5*(-6)^{2}}}={\frac {3(-8,5)^{2}}+{frac {5v^{2}}}}

Moltiplicando entrambi i lati per 2 {displaystyle 2} , e poi fare tutte le moltiplicazioni richieste ci dà:

  48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}}

Sommando i numeri a sinistra, sottraendo 216,75 {displaystyle 216,75} da entrambi i lati, e dividendo per 5 {displaystyle 5} si ottiene:

  2,25 = v 2 {displaystyle \ 2,25=v^{2}}

Prendendo la radice quadrata di entrambi i lati si ottiene la risposta di v = ± 1,5 {displaystyle v=\pm 1,5}. .

Sfortunatamente, avremmo ancora bisogno di usare la conservazione della quantità di moto per capire se v è positivo o negativo.