Induzione matematica

L'induzione matematica è un modo speciale per dimostrare una verità matematica. Può essere usata per dimostrare che qualcosa è vero per tutti i numeri naturali (tutti i numeri interi positivi). L'idea è che

  • Qualcosa è vero per il primo caso
  • La stessa cosa vale sempre per il prossimo caso

poi

  • La stessa cosa vale per ogni caso

Nel linguaggio attento della matematica:

  • Dichiarare che la prova sarà per induzione su n\displaystyle n}n . ( n {\displaystyle n} nè la variabile di induzione.)
  • Mostra che l'affermazione è vera quando n {\displaystyle n} nè 1.
  • Si supponga che l'affermazione sia vera per qualsiasi numero naturale n {\displaystyle n}n . (Questo è chiamato il passo di induzione).
    • Mostra quindi che l'affermazione è vera per il numero successivo, n + 1 {\displaystyle n+1}{\displaystyle n+1} .

Perché è vero per 1, poi è vero per 1+1 (=2, per il passo di induzione), poi è vero per 2+1 (=3), poi è vero per 3+1 (=4), e così via.

Un esempio di prova per induzione:

Dimostra che per tutti i numeri naturali n:

1 + 2 + 3 + . . . . + ( n - 1 ) + n = 1 2 n ( n + 1 ) {\fscx130\fscy130\frx40}{\fscy130\fscy130\frx40}n(n+1....{\displaystyle 1+2+3+....+(n-1)+n={\tfrac {1}{2}}n(n+1)}

La prova:

In primo luogo, la dichiarazione può essere scritta: per tutti i numeri naturali n

2 ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) {\a6}}{k=1}^{n}k=n(n+1)} {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)}

Per induzione su n,

Primo, per n=1:

2 ∑ k = 1 1 1 k = 2 ( 1 ) = 1 ( 1 + 1 ) {\an8}{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)}{1}k=2(1)=1(1+1) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)},

quindi questo è vero.

Poi, supponiamo che per alcuni n=n0 l'affermazione sia vera. Questo è,:

2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {\a6}{k=1}^{n_{0}}}}k=n_{0}(n_{0}+1)}(n_{0}+1) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)}

Poi per n=n0+1:

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k {\a6}{k=1}^{{{n_{0}}}+1}k} {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{{n_{0}}+1}k}

può essere riscritto

2 ( ∑ k = 1 n 0 k + ( n 0 + 1 ) ) Stile di visualizzazione 2 a sinistra... {\displaystyle 2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)}

Dal 2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) , {\a6}}{k=1}^{n_{0}}}k=n_{0}(n_{0}+1),} {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),}

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k = n 0 ( n 0 + 1 ) + 2 ( n 0 + 1 ) = ( n 0 + 1 ) ( n 0 + 2 ) {\a6}{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)}(n_{0}+1) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)}

Quindi la prova è corretta.

Prove simili

L'induzione matematica è spesso indicata con il valore di partenza 0 (anziché 1). In realtà, funzionerà altrettanto bene con una varietà di valori di partenza. Ecco un esempio quando il valore di partenza è 3. La somma degli angoli interni di un poligono con lato nn è ( n - 2 ) 180 {\displaystyle n} (n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180} {\displaystyle (n-2)180}gradi.

Il valore iniziale iniziale è 3, e gli angoli interni di un triangolo sono ( 3 - 2 ) 180 {\displaystyle (3-2)180} {\displaystyle (3-2)180}gradi. Si supponga che gli angoli interni di un poligono con lato nn siano ( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180}{\displaystyle (n-2)180} gradi. Aggiungere un triangolo che rende la figura un n + 1 {\displaystyle n+1}. -{\displaystyle n+1}poligono laterale, e che aumenta il conteggio degli angoli di 180 gradi ( n - 2 ) 180 + 180 = ( n + 1 - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180+180=(n+1-2)180} {\displaystyle (n-2)180+180=(n+1-2)180}gradi. Dimostrato.

Ci sono moltissimi oggetti matematici per i quali funziona la prova ad induzione matematica. Il termine tecnico è un insieme ben ordinato.

Definizione induttiva

La stessa idea può funzionare per definire, oltre che per dimostrare.

Definisci lo stile di visualizzazione del ncugino di laurea:

  • Un{\displaystyle 1}cugino di primo grado è il figlio di un fratello di un genitore.
  • Un cugino di grado n+1 è il figlio del cugino di grado n+1{\displaystyle n+1}n di un genitore.

Esiste un insieme di assiomi per l'aritmetica dei numeri naturali che si basa sull'induzione matematica. Questo è chiamato "Assiomi di Peano". I simboli non definiti sono | e =. Gli assiomi sono

  • | è un numero naturale
  • Se n {\i} nè un numero naturale, allora n | {\i} {\displaystyle n|}è un numero naturale
  • Se n | = m | {\i} {\i\i} {\displaystyle n|=m|}allora n = m {\i\i} {\displaystyle n=m}

Si possono quindi definire le operazioni di addizione e moltiplicazione e così via per induzione matematica. Per esempio:

  • m + | = m | {\fscx130\fscy130\frx40}M+|=m| {\displaystyle m+|=m|}
  • m + n | = ( m + n ) | {\a6} {\a6} {\a6}(m+n|=(m+n)|} {\displaystyle m+n|=(m+n)|}

Domande e risposte

D: Che cos'è l'induzione matematica?


R: L'induzione matematica è un modo speciale di dimostrare una verità matematica che può essere utilizzata per dimostrare che qualcosa è vero per tutti i numeri naturali o positivi da un certo punto in poi.

D: Come procede la prova per induzione?


R: La prova per induzione procede tipicamente affermando che la prova sarà fatta su n, dimostrando che l'affermazione è vera quando n è 1, assumendo che l'affermazione è vera per qualsiasi numero naturale n, e poi dimostrando che è vera per il numero successivo (n+1).

D: Cosa significa assumere qualcosa in un passo induttivo?


R: Presupporre qualcosa in un passo induttivo significa accettarlo come vero senza fornire prove o indizi. Serve come punto di partenza per ulteriori indagini.

D: Che tipo di numeri si usano nell'induzione matematica?


R: L'induzione matematica utilizza in genere numeri naturali o numeri positivi, a partire da un certo punto.

D: Come si dimostra che qualcosa è vero per il numero successivo (n+1)?


R: Per dimostrare che qualcosa è vero per il numero successivo (n+1), deve prima dimostrare che è vero quando n=1, e poi utilizzare l'assunto della fase induttiva per dimostrare che è vero anche per n+1.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3