Induzione matematica

Autore: Leandro Alegsa Data di creazione: 20 dicembre 2020

L'induzione matematica è un modo speciale per dimostrare una verità matematica. Può essere usata per dimostrare che qualcosa è vero per tutti i numeri naturali (tutti i numeri interi positivi). L'idea è che

Qualcosa è vero per il primo caso
La stessa cosa vale sempre per il prossimo caso

poi

La stessa cosa vale per ogni caso

Nel linguaggio attento della matematica:

Dichiarare che la prova sarà per induzione su n\displaystyle n} . ( n {\displaystyle n} è la variabile di induzione.)
Mostra che l'affermazione è vera quando n {\displaystyle n} è 1.
Si supponga che l'affermazione sia vera per qualsiasi numero naturale n {\displaystyle n} . (Questo è chiamato il passo di induzione).

Mostra quindi che l'affermazione è vera per il numero successivo, n + 1 {\displaystyle n+1} $n+1$ .

Perché è vero per 1, poi è vero per 1+1 (=2, per il passo di induzione), poi è vero per 2+1 (=3), poi è vero per 3+1 (=4), e così via.

Un esempio di prova per induzione:

Dimostra che per tutti i numeri naturali n:

1 + 2 + 3 + . . . . + ( n - 1 ) + n = 1 2 n ( n + 1 ) {\fscx130\fscy130\frx40}{\fscy130\fscy130\frx40}n(n+1.... $1+2+3+....+(n-1)+n={\tfrac {1}{2}}n(n+1)$

La prova:

In primo luogo, la dichiarazione può essere scritta: per tutti i numeri naturali n

2 ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) {\a6}}{k=1}^{n}k=n(n+1)} $2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)$

Per induzione su n,

Primo, per n=1:

2 ∑ k = 1 1 1 k = 2 ( 1 ) = 1 ( 1 + 1 ) {\an8}{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)}{1}k=2(1)=1(1+1) $2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)$ ,

quindi questo è vero.

Poi, supponiamo che per alcuni n=n0 l'affermazione sia vera. Questo è,:

2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {\a6}{k=1}^{n_{0}}}}k=n_{0}(n_{0}+1)}(n_{0}+1) $2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)$

Poi per n=n0+1:

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k {\a6}{k=1}^{{{n_{0}}}+1}k} $2\sum _{k=1}^{{n_{0}}+1}k$

può essere riscritto

2 ( ∑ k = 1 n 0 k + ( n 0 + 1 ) ) Stile di visualizzazione 2 a sinistra... $2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)$

Dal 2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) , {\a6}}{k=1}^{n_{0}}}k=n_{0}(n_{0}+1),} $2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),$

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k = n 0 ( n 0 + 1 ) + 2 ( n 0 + 1 ) = ( n 0 + 1 ) ( n 0 + 2 ) {\a6}{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)}(n_{0}+1) $2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)$

Quindi la prova è corretta.

Prove simili

L'induzione matematica è spesso indicata con il valore di partenza 0 (anziché 1). In realtà, funzionerà altrettanto bene con una varietà di valori di partenza. Ecco un esempio quando il valore di partenza è 3. La somma degli angoli interni di un poligono con lato n è ( n - 2 ) 180 {\displaystyle n} (n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180} $(n-2)180$ gradi.

Il valore iniziale iniziale è 3, e gli angoli interni di un triangolo sono ( 3 - 2 ) 180 {\displaystyle (3-2)180} $(3-2)180$ gradi. Si supponga che gli angoli interni di un poligono con lato n siano ( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180} $(n-2)180$ gradi. Aggiungere un triangolo che rende la figura un n + 1 {\displaystyle n+1}. - $n+1$ poligono laterale, e che aumenta il conteggio degli angoli di 180 gradi ( n - 2 ) 180 + 180 = ( n + 1 - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180+180=(n+1-2)180} $(n-2)180+180=(n+1-2)180$ gradi. Dimostrato.

Ci sono moltissimi oggetti matematici per i quali funziona la prova ad induzione matematica. Il termine tecnico è un insieme ben ordinato.

Definizione induttiva

La stessa idea può funzionare per definire, oltre che per dimostrare.

Definisci lo stile di visualizzazione del cugino di laurea:

Un $1$ cugino di primo grado è il figlio di un fratello di un genitore.
Un cugino di grado n+1 è il figlio del cugino di grado n+1 $n+1$ di un genitore.

Esiste un insieme di assiomi per l'aritmetica dei numeri naturali che si basa sull'induzione matematica. Questo è chiamato "Assiomi di Peano". I simboli non definiti sono | e =. Gli assiomi sono

| è un numero naturale
Se n {\i} è un numero naturale, allora n | {\i} $n|$ è un numero naturale
Se n | = m | {\i} {\i\i} $n|=m|$ allora n = m {\i\i} $n=m$

Si possono quindi definire le operazioni di addizione e moltiplicazione e così via per induzione matematica. Per esempio:

m + | = m | {\fscx130\fscy130\frx40}M+|=m| $m+|=m|$
m + n | = ( m + n ) | {\a6} {\a6} {\a6}(m+n|=(m+n)|} $m+n|=(m+n)|$

Domande e risposte

D: Che cos'è l'induzione matematica?

R: L'induzione matematica è un modo speciale di dimostrare una verità matematica che può essere utilizzata per dimostrare che qualcosa è vero per tutti i numeri naturali o positivi da un certo punto in poi.

D: Come procede la prova per induzione?

R: La prova per induzione procede tipicamente affermando che la prova sarà fatta su n, dimostrando che l'affermazione è vera quando n è 1, assumendo che l'affermazione è vera per qualsiasi numero naturale n, e poi dimostrando che è vera per il numero successivo (n+1).

D: Cosa significa assumere qualcosa in un passo induttivo?

R: Presupporre qualcosa in un passo induttivo significa accettarlo come vero senza fornire prove o indizi. Serve come punto di partenza per ulteriori indagini.

D: Che tipo di numeri si usano nell'induzione matematica?

R: L'induzione matematica utilizza in genere numeri naturali o numeri positivi, a partire da un certo punto.

D: Come si dimostra che qualcosa è vero per il numero successivo (n+1)?

R: Per dimostrare che qualcosa è vero per il numero successivo (n+1), deve prima dimostrare che è vero quando n=1, e poi utilizzare l'assunto della fase induttiva per dimostrare che è vero anche per n+1.