Uno spazio topologico è uno spazio studiato in topologia, la matematica della struttura delle forme. Più o meno è un insieme di cose (chiamate punti) insieme a un modo per sapere quali sono le cose vicine tra loro.
Più precisamente, uno spazio topologico ha un certo tipo di set, chiamato set aperto. Le scenografie aperte sono importanti perché permettono di parlare di punti vicini a un altro punto, chiamato quartiere del punto. Un quartiere di un punto è semplicemente un set aperto che contiene quel punto. Se non si ha il concetto di set aperti, non si possono definire i quartieri in modo positivo. Se si cerca di definire una prossimità di un punto come qualsiasi insieme contenente quel punto, si potrebbe includere solo quel punto e solo quel punto, non qualsiasi punto vicino o lontano. Abbiamo anche il concetto di set chiusi, che sono complementi di set aperti. Cioè, tutti i punti che non appartengono a un determinato set aperto formano un set chiuso.
I set aperti devono seguire determinate regole in modo che corrispondano alle nostre idee di vicinanza. L'unione di un numero qualsiasi di set aperti deve essere aperta, e l'unione di un numero finito di set chiusi deve essere chiusa. (La seconda regola funziona solo per un numero finito di set chiusi. Questo perché in molti casi un set contenente un singolo punto è chiuso. Ogni set è fatto di punti. Se la seconda regola si applicasse ad un numero infinito di set chiusi, allora ogni set sarebbe chiuso). Come caso speciale, il set contenente ogni punto è sia aperto che chiuso. Anche il set che non contiene punti è sia aperto che chiuso.
Un insieme di punti può avere molte definizioni diverse di cosa sia un insieme aperto. Si può pensare solo a certi set come aperti, o a più set come aperti. Si può anche considerare ogni set come aperto. Lo stesso set con diverse definizioni di set aperti forma spazi topologici diversi.