Insiemi (matematica): definizione, proprietà ed esempi

Notazione

La maggior parte dei matematici usa lettere maiuscole in corsivo (di solito romane) per scrivere sugli insiemi. Le cose che sono viste come elementi di insiemi sono di solito scritte con lettere romane minuscole.

Un modo di mostrare un insieme è una lista dei suoi membri, separati da virgole, inclusi tra parentesi. Per esempio,

• X={1,2,3} è un insieme che ha membri 1, 2 e 3.

Un altro modo è una dichiarazione di ciò che è vero dei membri dell'insieme, come questa:

• {x | x è un numero naturale e x < 4}.

In inglese parlato, è: "l'insieme di tutti gli x tali che x è un numero naturale e x è minore di quattro".

L'insieme vuoto è scritto in modo speciale:

• ∅ {displaystyle \emptyset }

Quando l'oggetto a è il membro dell'insieme A si scrive come:

• a ∈ A.

In inglese parlato, cioè: "a è un membro di A"

Cosa fare con gli insiemi

Elemento di

Varie cose possono essere messe in un sacchetto. In seguito, una domanda valida sarebbe se una certa cosa è nel sacchetto. I matematici chiamano questo elemento di. Qualcosa è un elemento di un insieme, se quella cosa si trova nel rispettivo sacchetto. Il simbolo usato per questo è ∈ {displaystyle \in }

a ∈ A {displaystyle a\in \mathbf {A} }

significa che un {displaystyle a} è nella borsa A {displaystyle \mathbf {A} }

Set vuoto

Come una borsa, un insieme può anche essere vuoto. L'insieme vuoto è come una borsa vuota: non ha cose dentro.

Confrontare gli insiemi

Due set possono essere confrontati. È come guardare due borse diverse. Se contengono le stesse cose, sono uguali.

Cardinalità di un insieme

Quando i matematici parlano di un insieme, a volte vogliono sapere quanto è grande un insieme. Lo fanno contando quanti elementi ci sono nell'insieme (quanti elementi ci sono nella borsa). La cardinalità può essere un numero semplice. L'insieme vuoto ha una cardinalità di 0. L'insieme { a p p l e , o r a n g e } ha una cardinalità di 2.

Due insiemi hanno la stessa cardinalità se possiamo accoppiare i loro elementi - se possiamo unire due elementi, uno da ciascun insieme. L'insieme { a p p l e , o r a n g e } e l'insieme { s u n , m o o n i d i a n n i s m o} e l'insieme { s u n , m o n i d i a n n i s m o hanno la stessa cardinalità. Possiamo accoppiare mela con sole e arancia con luna. L'ordine non ha importanza. È possibile accoppiare gli elementi, e nessuno viene lasciato fuori. Ma l'insieme { d o g , c a t , b i r d } e l'insieme { 5 , 6 } hanno cardinalità diverse. Se proviamo ad accoppiarli, lasciamo sempre fuori un animale.

Cardinalità infinita

A volte la cardinalità non è un numero. A volte un insieme ha cardinalità infinita. L'insieme dei numeri interi è un insieme con cardinalità infinita. Alcuni insiemi con cardinalità infinita sono più grandi (hanno una cardinalità maggiore) di altri. Ci sono più numeri reali che numeri naturali, per esempio. Questo significa che non possiamo accoppiare l'insieme dei numeri interi e l'insieme dei numeri reali, anche se lavorassimo all'infinito. Se un insieme ha la stessa cardinalità dell'insieme dei numeri interi, è chiamato un insieme numerabile. Ma se un insieme ha la stessa cardinalità dell'insieme dei numeri reali, si chiama un insieme non numerabile.

Sottoinsiemi

Se guardi l'insieme {a,b} e l'insieme {a,b,c,d}, puoi vedere che tutti gli elementi del primo insieme sono anche nel secondo.
Noi diciamo che: {a,b} è un sottoinsieme di {a,b,c,d} Come
formula si presenta così:
{ a , b } ⊆ { a , b , c , d } {displaystyle \a,b {subseteq \a,b,c,d}}

Quando tutti gli elementi di A sono anche elementi di B, chiamiamo A un sottoinsieme di B:
A ⊆ B {displaystyle A\subseteq B}
Di solito si legge "A è contenuto in B".

Esempio:
ogni Chevrolet è un'auto americana. Quindi l'insieme di tutte le Chevrolet è contenuto nell'insieme di tutte le auto americane.

Impostare le operazioni

Ci sono diversi modi di combinare i set.

Intersezioni

L'intersezione A ∩ B {displaystyle A\cap B} di due insiemi A e B è un insieme che contiene tutti gli elementi,
che sono sia nell'insieme A che nell'insieme B.
Quando A è l'insieme di tutte le auto economiche, e B è l'insieme di tutte le auto americane,
allora A ∩ B {displaystyle A\cap B} è l'insieme di tutte le auto americane economiche.

Sindacati

L'unione A ∪ B {displaystyle A\cup B} di due insiemi A e B è un insieme che contiene tutti gli elementi,
che sono nell'insieme A o nell'insieme B.

Questa "o" è la disgiunzione inclusiva, quindi l'unione contiene anche gli elementi che sono nell'insieme A e nell'insieme B.

A proposito: Questo significa che l'intersezione è un sottoinsieme dell'unione:

( A ∩ B ) ⊆ ( A ∪ B ) {displaystyle (A\cap B)\subseteq (A\cup B)}

Quando A è l'insieme di tutte le auto economiche, e B è l'insieme di tutte le auto americane,
allora A ∪ B {displaystyle A\cup B} è l'insieme di tutte le auto, senza tutte le auto costose che non sono americane.

Complementi

Complemento può significare due cose diverse:

• Il complemento di A è l'universo U senza tutti gli elementi di A:

A C = U ∖ A {displaystyle A^{{rm {C}=U\set meno A}
L'universo U è l'insieme di tutte le cose di cui si parla.
Quando U è l'insieme di tutte le auto, e A è l'insieme di tutte le auto economiche,
allora ^AC è l'insieme di tutte le auto costose.

• Il complemento relativo di A in B è l'insieme B senza tutti gli elementi di A:

B ∖ A {displaystyle B\setminus A}
È
spesso chiamata la differenza degli insiemi.
Quando A è l'insieme di tutte le auto economiche, e B è l'insieme di tutte le auto americane,
allora B ∖ A {displaystyle B\setminus A} è l'insieme di tutte le auto americane costose.

Se si scambiano gli insiemi nella differenza dell'insieme, il risultato è diverso:
nell'esempio con le automobili, la differenza A ∖ B {displaystyle A meno B} è l'insieme di tutte le automobili economiche, che non sono fatte in America.

Set speciali

Alcuni insiemi sono molto importanti per la matematica. Sono usati molto spesso. Uno di questi è l'insieme vuoto. Molti di questi insiemi sono scritti con caratteri in grassetto da lavagna, come mostrato qui sotto. Gli insiemi speciali includono:

• P {displaystyle \mathbb {P} } , che denota l'insieme di tutti i primi.
• N {displaystyle \mathbb {N} } , che denota l'insieme di tutti i numeri naturali. Cioè, N {displaystyle \mathbb {N} } = {1, 2, 3, ...}, o talvolta N {displaystyle \mathbb {N} } = {0, 1, 2, 3, ...}.
• Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , che denota l'insieme di tutti i numeri interi (positivi, negativi o zero). Quindi Z {displaystyle \mathbb {Z} } = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , che denota l'insieme di tutti i numeri razionali (cioè l'insieme di tutte le frazioni proprie e improprie). Quindi, Q = { a b : a , b ∈ Z , b ≠ 0 } {\displaystyle \mathbb {Q} = {sinistra}{ inizio matrice}{frac {a}{b} fine matrice}}:a,b in \mathbb {Z} ,bneq 0\right\}} , vale a dire tutte le frazioni a b {\displaystyle {begin{matrix}{frac {a}{b}}end{matrix}} dove a e b sono nell'insieme di tutti i numeri interi e b non è uguale a 0. Per esempio, 1 4 ∈ Q {displaystyle {begin{matrix}{frac {1}{4}}{end{matrix}} in \mathbb {Q} e 11 6 ∈ Q {displaystyle {begin{matrix}{frac {11}{6}{end{matrix}} in \mathbb {Q} } . Tutti gli interi sono in questo insieme, poiché ogni intero a può essere espresso come la frazione a 1 {displaystyle {begin{matrix}{frac {a}{1}}end{matrix}} .
• R {displaystyle \mathbb {R} } , che denota l'insieme di tutti i numeri reali. Questo insieme comprende tutti i numeri razionali, insieme a tutti i numeri irrazionali (cioè i numeri che non possono essere riscritti come frazioni, come π , {displaystyle \pi ,} e , {displaystyle e,} e √2).
• C {displaystyle \mathbb {C} } , che denota l'insieme di tutti i numeri complessi.

Ognuno di questi insiemi di numeri ha un numero infinito di elementi, e P ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C {displaystyle \mathbb {P} \sottoinsieme \mathbb {N} \sottoinsieme \mathbb {Z} \sottoinsieme \sottoinsieme \sottoinsieme \sottoinsieme \mathbb {Q} \sottoinsieme \materia \materia \R} \sottoinsieme \materia \materia \C} } . I primi sono usati meno frequentemente degli altri al di fuori della teoria dei numeri e dei campi correlati.

Paradossi sugli insiemi

Il matematico BertrandRussell ha scoperto che ci sono problemi con questa teoria degli insiemi. Lo dichiarò in un paradosso chiamato paradosso di Russell. Una versione più facile da capire, più vicina alla vita reale, è chiamata il paradosso di Barber:

Il paradosso del barbiere

Da qualche parte c'è una piccola città. In questa città c'è un barbiere. Tutti gli uomini della città non amano la barba, quindi o si radono da soli o vanno dal barbiere per farsi radere da lui.

Possiamo quindi fare una dichiarazione sul barbiere stesso: Il barbiere rade tutti gli uomini che non si radono da soli. Egli rade solo quegli uomini (poiché gli altri si radono da soli e non hanno bisogno di un barbiere che li rada).

Questo naturalmente solleva la domanda: Cosa fa il barbiere ogni mattina per apparire pulito e rasato? Questo è il paradosso.

• Se il barbiere non si rade da solo, seguirà la regola e si raderà da solo (andare dal barbiere per farsi radere)
• Se il barbiere si rade da solo, non si raderà da solo, secondo la regola data sopra.