Vorticità (vorticosità): definizione, formule e applicazioni in fluidodinamica

Scopri la vorticosità in fluidodinamica: definizione, formule, interpretazione vettoriale e applicazioni pratiche nei vortici, negli strati limite e nella modellazione del flusso.

Autore: Leandro Alegsa

08-10-2025 13:08

La vorticosità è un concetto matematico usato nella fluidodinamica per quantificare la tendenza di un fluido a ruotare localmente. Può essere interpretata come una misura della «circolazione» o della velocità angolare locale del fluido rispetto al centro di una piccola regione di flusso.

Definizione media e locale

La vorticosità media in una piccola regione di area A è uguale alla circolazione Γ intorno al contorno della regione divisa per l'area stessa. La circolazione è la linea integrale della velocità lungo una curva chiusa che delimita la regione, ovvero Γ = ∮ v · dl. Per una piccola regione si ottiene:

$\Gamma$

La vorticosità media ω_av è quindi Γ diviso A:

$\omega _{av}={\frac {\Gamma }{A}}$

Nozionalmente, la vorticosità puntuale in un punto si ottiene prendendo il limite quando l'area della regione si riduce a zero:

$\omega ={\frac {d\Gamma }{dA}}$

Definizione vettoriale

Matematicamente la vorticosità è un vettore definito come il ricciolo (curl) del campo velocità:

${\vec {\omega }}={\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}.$

In componenti cartesiane, per un campo velocità v = (u, v, w):

ω_x = ∂w/∂y − ∂v/∂z
ω_y = ∂u/∂z − ∂w/∂x
ω_z = ∂v/∂x − ∂u/∂y

Per un flusso bidimensionale confinato al piano x–y la vorticità è generalmente un vettore ortogonale al piano (componente z) e può essere trattata come uno scalare ω = ω_z.

Interpretazione fisica

La vorticosità locale è collegata alla velocità angolare locale. Per un corpo rigido che ruota con velocità angolare Ω, la vorticosità è pari a 2Ω. Questo significa che in una regione di flusso che si comporta come una rotazione rigida, ω rappresenta il doppio della velocità angolare del moto di rotazione.

Unità SI: la vorticosità si misura in secondi⁻¹ (s⁻¹).

Proprietà e dinamica

Per ogni campo di velocità sufficientemente regolare vale ∇·ω = 0, perché la divergenza del rotore è nulla (∇·(∇×v) = 0).
In flussi ideali e incomprimibili, la circolazione intorno a una linea materiale è conservata (teorema di Kelvin) nelle condizioni adeguate (fluido barotropico, forze volute conservative). Ciò implica che linee di vortice si muovono con il fluido.
La viscosità produce diffusione della vorticità: in presenza di viscosità la vorticità può essere generata e dissipata, in particolare vicino alle pareti solide dove si genera lo strato limite.
In flussi tridimensionali esiste il meccanismo di vortex stretching (allungamento del vortice) che può amplificare la vorticosità: lo stretching delle linee di vortice aumenta l'intensità di ω.

Flusso potenziale e vortex sheet

Uno dei presupposti di base dell'ipotesi di flusso potenziale è che la vorticosità ω \displaystyle \omega $\omega$ sia pari a zero quasi ovunque nello spazio di flusso, eccetto nelle regioni dove la viscosità o le condizioni al contorno generano concentrazioni di vorticità (ad esempio strati limite e fogli di vortice). Queste regioni di vorticità concentrata sono spesso modellate mediante:

vortici filiformi (vortex filaments),
fogli di vortice (vortex sheets),
vortici puntiformi in modelli bidimensionali (point vortices).

Applicazioni

Aerodinamica: la creazione di vortici è alla base del calcolo della portanza tramite il teorema di Kutta–Joukowski, che lega la portanza specifica di un profilo alla circolazione Γ.
Turbulentologia: la dinamica della vorticità è centrale nella formazione e nell'interazione di strutture vorticali nella turbolenza.
Meteorologia e oceanografia: cicloni, anticicloni, correnti e strutture vorticali su larga scala sono descritti tramite la vorticità.
Ingegneria e processi industriali: miscelazione, combustione e controllo del flusso sfruttano la generazione e il controllo della vorticità.

Modellazione dei vortici

Poiché un vortice è una regione con vorticosità concentrata, tali regioni vengono spesso approssimate con modelli di vortici ideali (filamenti, anelli, fogli) per semplificare l'analisi e la simulazione. In molti problemi pratici la combinazione di modelli di vorticità con la risoluzione degli strati limite e degli effetti viscosi fornisce una descrizione efficace del campo di velocità reale.

In sintesi, la vorticosità è una quantità vettoriale fondamentale che descrive la rotazione locale di un fluido, con ruolo cruciale sia nella teoria dei flussi ideali sia nella fisica dei flussi viscosi e turbolenti.

Domande e risposte

D: Cos'è la vorticità?

R: La vorticità è un concetto matematico utilizzato nella dinamica dei fluidi che si riferisce alla quantità di 'circolazione' o 'rotazione' (o più strettamente, il tasso angolare locale di rotazione) in un fluido.

D: Come si calcola la vorticità?

R: La vorticità media in una piccola regione di flusso fluido è uguale alla circolazione intorno al confine della piccola regione, divisa per l'area A della piccola regione. Matematicamente, può anche essere definita come il ricciolo della velocità in un punto.

D: Esiste un'ipotesi di base relativa alla vorticità?

R: Sì, uno dei presupposti di base dell'ipotesi di flusso potenziale è che la vorticità è pari a zero quasi ovunque, tranne che in uno strato limite o nella superficie del flusso che delimita immediatamente uno strato limite.

D: Cosa succede quando ci sono regioni con vorticità non zero?

R: Queste regioni possono essere modellate con vortici, perché sono regioni con vorticità concentrata.

D: Cosa rappresenta Γ?

R: Γ rappresenta la circolazione intorno a una piccola regione.

D: Cosa rappresenta ω?

R: ω rappresenta la vorticità media in una piccola regione e rappresenta anche il vettore e la curvatura della velocità in un punto.

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