Paradossi di Zeno

Achille e la tartaruga

Nel paradosso di Achille e la tartaruga, Achille è in una corsa a piedi con la tartaruga. Achille concede alla tartaruga un vantaggio di 100 metri, per esempio. Supponiamo che ogni corridore inizi a correre a velocità costante, uno molto veloce e uno molto lento. Dopo un tempo finito, Achille avrà percorso 100 metri, portandosi al punto di partenza della tartaruga. Durante questo tempo, la tartaruga più lenta ha corso una distanza molto più breve. Ci vorrà ancora un po' di tempo ad Achille per percorrere quella distanza, e a quel punto la tartaruga sarà avanzata di più. Ci vorrà ancora più tempo ad Achille per raggiungere questo terzo punto, mentre la tartaruga avanza ancora. Così, ogni volta che Achille raggiunge un punto in cui la tartaruga è stata, ha ancora molta strada da fare. Quindi, poiché c'è un numero infinito di punti che Achille deve raggiungere dove la tartaruga è già stata, non potrà mai superare la tartaruga.

Il paradosso della dicotomia

Supponiamo che qualcuno voglia andare dal punto A al punto B. Prima deve spostarsi a metà strada. Poi, deve percorrere la metà della strada rimanente. Continuando in questo modo, ci sarà sempre una piccola distanza rimanente, e l'obiettivo non sarà mai raggiunto. Ci sarà sempre un altro numero da aggiungere in una serie come 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ....Quindi, il movimento da qualsiasi punto A a qualsiasi punto B diverso è visto come un'impossibilità.

Commento

Ecco allora dove sta il paradosso di Zeno: entrambe le immagini della realtà non possono essere vere allo stesso tempo. Quindi, o 1. 1. C'è qualcosa di sbagliato nel modo in cui percepiamo la natura continua del tempo, 2. In realtà non esiste una cosa come una discreta, o incrementale, quantità di tempo, distanza, o forse qualsiasi altra cosa, o 3. C'è una terza immagine della realtà che unifica le due immagini - quella matematica e quella della realtà. C'è una terza immagine della realtà che unifica le due immagini - quella matematica e quella del senso comune o filosofica - che non abbiamo ancora gli strumenti per comprendere pienamente.

Soluzioni proposte

Poche persone scommetterebbero che la tartaruga vincerebbe la gara contro un atleta. Ma cosa c'è di sbagliato in questo argomento?

Quando si iniziano a sommare i termini della serie 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...., si può notare che la somma si avvicina sempre di più a 1, e non supererà mai 1. Aristotele (che è la fonte di gran parte di ciò che sappiamo su Zenone) ha notato che mentre la distanza (nel paradosso della dicotomia) diminuisce, il tempo per percorrere ogni distanza diventa sempre più piccolo. Prima del 212 a.C., Archimede aveva sviluppato un metodo per ricavare una risposta finita per la somma di infiniti termini che diventano progressivamente più piccoli (come 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). Il calcolo moderno raggiunge lo stesso risultato, usando metodi più rigorosi.

Alcuni matematici, come w:Carl Boyer, ritengono che i paradossi di Zeno siano semplicemente problemi matematici, per i quali il calcolo moderno fornisce una soluzione matematica. Tuttavia, le domande di Zeno rimangono problematiche se ci si avvicina a una serie infinita di passi, un passo alla volta. Questo è noto come un supercompito. Il calcolo in realtà non comporta l'aggiunta di numeri uno alla volta. Invece, determina il valore (chiamato limite) a cui l'addizione si avvicina.

Vedere gli articoli di Wikipedia in inglese

• I paradossi di Zeno
• La quadratura della parabola
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·
• Lampada di Thompson