Calcolo

Il calcolo è una branca della matematica che ci aiuta a capire i cambiamenti tra valori che sono correlati da una funzione. Per esempio, se tu avessi una formula che dice quanti soldi ricevi ogni giorno, il calcolo ti aiuterebbe a capire formule correlate come quanti soldi hai in totale, e se stai ricevendo più soldi o meno di prima. Tutte queste formule sono funzioni del tempo, e quindi questo è un modo di pensare al calcolo - studiare le funzioni del tempo.

Ci sono due diversi tipi di calcolo. Il calcolo differenziale divide le cose in piccoli (diversi) pezzi e ci dice come cambiano da un momento all'altro, mentre il calcolo integrale unisce (integra) i piccoli pezzi insieme e ci dice quanto di qualcosa è fatto, complessivamente, da una serie di cambiamenti. Il calcolo è usato in molte aree diverse come fisica, astronomia, biologia, ingegneria, economia, medicina e sociologia.

Storia

Negli anni 1670 e 1680, Sir Isaac Newton in Inghilterra e Gottfried Leibniz in Germania scoprirono il calcolo allo stesso tempo, lavorando separatamente l'uno dall'altro. Newton voleva avere un nuovo modo per prevedere dove vedere i pianeti nel cielo, perché l'astronomia era sempre stata una forma popolare e utile di scienza, e conoscere meglio i movimenti degli oggetti nel cielo notturno era importante per la navigazione delle navi. Leibniz voleva misurare lo spazio (area) sotto una curva (una linea che non è diritta). Molti anni dopo, i due uomini litigarono su chi l'avesse scoperto per primo. Gli scienziati inglesi sostenevano Newton, ma gli scienziati del resto d'Europa sostenevano Leibniz. La maggior parte dei matematici oggi concorda sul fatto che entrambi gli uomini si dividono equamente il merito. Alcune parti del calcolo moderno provengono da Newton, come i suoi usi in fisica. Altre parti vengono da Leibniz, come i simboli usati per scriverlo.

Non sono stati i primi ad usare la matematica per descrivere il mondo fisico - Aristotele e Pitagora sono venuti prima, e lo stesso ha fatto Galileo Galilei, che ha detto che la matematica era il linguaggio della scienza. Ma sia Newton che Leibniz furono i primi a progettare un sistema che descrive come le cose cambiano nel tempo e può prevedere come cambieranno in futuro.

Il nome "calculus" era la parola latina per una piccola pietra che gli antichi romani usavano per contare e giocare. La parola inglese "calculate" deriva dalla stessa parola latina.

Calcolo differenziale

Il calcolo differenziale è usato per trovare il tasso di cambiamento di una variabile rispetto ad un'altra variabile.

Nel mondo reale, può essere usato per trovare la velocità di un oggetto in movimento, o per capire come funzionano l'elettricità e il magnetismo. È molto importante per capire la fisica e molte altre aree della scienza.

Il calcolo differenziale è utile anche per i grafici. Può essere usato per trovare la pendenza di una curva e i punti più alti e più bassi (questi sono chiamati massimo e minimo) di una curva.

Le variabili possono cambiare il loro valore. Questo è diverso dai numeri perché i numeri sono sempre uguali. Per esempio, il numero 1 è sempre uguale a 1 e il numero 200 è sempre uguale a 200. Spesso si scrivono le variabili come lettere come la lettera x. "X" può essere uguale a 1 in un punto e a 200 in un altro punto.

Alcuni esempi di variabili sono la distanza e il tempo perché possono cambiare. La velocità di un oggetto è la distanza che percorre in un determinato tempo. Quindi, se una città è a 80 chilometri (50 miglia) di distanza e una persona in una macchina ci arriva in un'ora, ha viaggiato a una velocità media di 80 chilometri (50 miglia) all'ora. Ma questa è solo una media - forse hanno viaggiato più velocemente in alcuni momenti (su un'autostrada) e più lentamente in altri (a un semaforo o in una piccola strada dove vivono delle persone). Immaginate un guidatore che cerca di capire la velocità di un'auto usando solo il suo contachilometri (misuratore di distanza) e l'orologio, senza un tachimetro!

Fino all'invenzione del calcolo, l'unico modo per risolvere questo problema era quello di tagliare il tempo in pezzi sempre più piccoli, in modo che la velocità media sul tempo più piccolo si avvicinasse sempre più alla velocità reale in un punto nel tempo. Questo era un processo molto lungo e difficile e doveva essere fatto ogni volta che si voleva risolvere qualcosa.

Un problema molto simile è trovare la pendenza (quanto è ripida) in qualsiasi punto di una curva. La pendenza di una linea retta è facile da calcolare - è semplicemente quanto sale (y o verticale) diviso per quanto attraversa (x o orizzontale). Su una curva, però, la pendenza è variabile (ha valori diversi in punti diversi) perché la linea si piega. Ma se la curva venisse tagliata in pezzi molto, molto piccoli, la curva nel punto sembrerebbe quasi una linea retta molto corta. Quindi, per calcolare la sua pendenza, si può tracciare una linea retta attraverso il punto con la stessa pendenza della curva in quel punto. Se è fatto esattamente bene, la linea retta avrà la stessa pendenza della curva, ed è chiamata tangente. Ma non c'è modo di sapere (senza una matematica molto complicata) se la tangente è esattamente giusta, e i nostri occhi non sono abbastanza precisi per essere certi che sia esatta o semplicemente molto vicina.

Ciò che Newton e Leibniz trovarono fu un modo per calcolare esattamente la pendenza (o la velocità nell'esempio della distanza), usando regole semplici e logiche. Divisero la curva in un numero infinito di pezzi molto piccoli. Poi scelsero dei punti su entrambi i lati dell'intervallo a cui erano interessati ed elaborarono le tangenti a ciascuno di essi. Man mano che i punti si avvicinavano verso il punto che gli interessava, la pendenza si avvicinava ad un valore particolare man mano che le tangenti si avvicinavano alla pendenza reale della curva. Il particolare valore a cui si avvicinava era la pendenza reale.

Diciamo che abbiamo una funzione y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)}{\displaystyle y=f(x)} . f è l'abbreviazione di funzione, quindi questa equazione significa "y è una funzione di x". Questo ci dice che quanto in alto è y sull'asse verticale dipende da cosa è x (l'asse orizzontale) in quel momento. Per esempio, con l'equazione y = x 2 {displaystyle y=x^{2} {\displaystyle y=x^{2}}sappiamo che se x {displaystyle x}x è 1, allora y {displaystyle y}y sarà 1; se x {displaystyle x}x è 3, allora y {displaystyle y}y sarà 9; se x {displaystyle x}x è 20, allora y {displaystyle y}y sarà 400. La derivata prodotta usando questo metodo qui è 2 x {displaystyle 2x} {\displaystyle 2x}, ovvero 2 moltiplicato per x {displaystyle x} x. Quindi sappiamo senza dover disegnare alcuna linea tangente che in qualsiasi punto della curva f ( x ) = x 2 {displaystyle f(x)=x^{2}} {\displaystyle f(x)=x^{2}}, la derivata, f ′ ( x ) {displaystyle f'(x)} f'(x)(contrassegnata dal simbolo del primo), sarà 2 x {displaystyle 2x}{\displaystyle 2x} in qualsiasi punto. Questo processo di calcolo di una pendenza usando i limiti è chiamato differenziazione, o trovare la derivata.

Il modo di scrivere la derivata in matematica è f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h . La derivata di f ′ ( x ) = lim h → 0 - f ( x ) h è la derivata di f ( x + h ) - f ( x ) h. } {\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}

Leibniz arrivò allo stesso risultato, ma chiamò h " d x {displaystyle dx} {\displaystyle dx}"che significa "rispetto a x". Chiamò il cambiamento risultante in f ( x ) {displaystyle f(x)} f(x)" d y {displaystyle dy} {\displaystyle dy}", che significa "una piccola quantità di y". La notazione di Leibniz è usata da più libri perché è facile da capire quando le equazioni diventano più complicate. Nella notazione di Leibniz: d y d x = f ′ ( x ) {displaystyle {frac {dy}{dx}}=f'(x)} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}

I matematici hanno sviluppato questa teoria di base per fare semplici regole di algebra che possono essere utilizzate per trovare la derivata di quasi tutte le funzioni.

Su una curva, due punti diversi hanno pendenze diverse. Le linee rossa e blu sono tangenti alla curva.
Su una curva, due punti diversi hanno pendenze diverse. Le linee rossa e blu sono tangenti alla curva.

Un'immagine che mostra cosa significano x e x + h sulla curva.
Un'immagine che mostra cosa significano x e x + h sulla curva.

Calcolo integrale

Il calcolo integrale è il processo di calcolo dell'area sotto il grafico di una funzione. Un esempio è il calcolo della distanza percorsa da un'auto: se si conosce la velocità dell'auto in diversi punti nel tempo e si disegna un grafico di questa velocità, allora la distanza percorsa dall'auto sarà l'area sotto il grafico.

Il modo per farlo è dividere il grafico in molti pezzi molto piccoli, e poi disegnare rettangoli molto sottili sotto ogni pezzo. Man mano che i rettangoli diventano sempre più sottili, i rettangoli coprono sempre meglio l'area sotto il grafico. L'area di un rettangolo è facile da calcolare, quindi possiamo calcolare l'area totale di tutti i rettangoli. Per i rettangoli più sottili, questo valore di area totale si avvicina all'area sottostante il grafico. Il valore finale dell'area si chiama integrale della funzione.

In matematica, l'integrale della funzione f(x) da a a b, si scrive come ∫ a b f ( x ) d x {displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} .

L'integrazione consiste nel trovare le aree, dati a, b e y = f(x).
L'integrazione consiste nel trovare le aree, dati a, b e y = f(x).

Possiamo approssimare l'area sotto una curva sommando le aree di molti rettangoli sotto la curva. Più rettangoli usiamo, migliore sarà la nostra approssimazione.
Possiamo approssimare l'area sotto una curva sommando le aree di molti rettangoli sotto la curva. Più rettangoli usiamo, migliore sarà la nostra approssimazione.

Idea principale del calcolo

L'idea principale del calcolo si chiama teorema fondamentale del calcolo. Questa idea principale dice che i due processi di calcolo, differenziale e integrale, sono opposti. Cioè, una persona può usare il calcolo differenziale per annullare un processo di calcolo integrale. Inoltre, una persona può usare il calcolo integrale per annullare un metodo di calcolo differenziale. Questo è proprio come usare la divisione per "annullare" la moltiplicazione, o l'addizione per "annullare" la sottrazione.

In una sola frase, il teorema fondamentale recita qualcosa del genere: "La derivata dell'integrale di una funzione f è la funzione stessa".

Altri usi del calcolo

Il calcolo è usato per descrivere cose che cambiano, come le cose in natura. Può essere usato per mostrare e imparare tutte queste cose:

  • Come si muovono le onde. Le onde sono molto importanti nel mondo naturale. Per esempio, il suono e la luce possono essere considerati come onde.
  • Dove il calore si muove, come in una casa. Questo è utile per l'architettura (costruire case), in modo che la casa possa essere il più economico possibile da riscaldare.
  • Come agiscono cose molto piccole come gli atomi.
  • Quanto velocemente qualcosa cadrà, noto anche come gravità.
  • Come funzionano le macchine, noto anche come meccanica.
  • Il percorso della luna mentre si muove intorno alla terra. Inoltre, il percorso della terra mentre si muove intorno al sole, e qualsiasi pianeta o luna che si muove intorno a qualsiasi cosa nello spazio.

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