Teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel

Autore: Leandro Alegsa Data di creazione: 20 aprile 2021

La teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (abbreviato ZF) è un sistema di assiomi usato per descrivere la teoria degli insiemi. Quando l'assioma di scelta è aggiunto a ZF, il sistema è chiamato ZFC. È il sistema di assiomi usato nella teoria degli insiemi dalla maggior parte dei matematici di oggi.

Dopo che il paradosso di Russell fu trovato nel 1901, i matematici volevano trovare un modo per descrivere la teoria degli insiemi che non avesse contraddizioni. Ernst Zermelo propose una teoria della teoria degli insiemi nel 1908. Nel 1922, Abraham Fraenkel propose una nuova versione basata sul lavoro di Zermelo.

Assiomi

Un assioma è un'affermazione che viene accettata senza domande e che non ha alcuna prova. ZF contiene otto assiomi.

L'assioma di estensione dice che due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi. Per esempio, l'insieme { 1 , 3 } $\{1,3\}$ e l'insieme { 3 , 1 } {displaystyle \3,1} $\{3,1\}$ sono uguali.
L'assioma di fondazione dice che ogni insieme S {displaystyle S} $S$ (diverso dall'insieme vuoto) contiene un elemento che è disgiunto (non condivide membri) con S {displaystyle S} $S$ .
L'assioma di specificazione dice che dato un insieme S {displaystyle S} $S$ e un predicato F {displaystyle F} (una funzione che è vera o falsa), che esiste un insieme che contiene esattamente quegli elementi di S {displaystyle S} $S$ dove F {displaystyle F} è vero. Per esempio, se S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} $S=\{1,2,3,5,6\}$ e F {displaystyle F} è "questo è un numero pari", allora l'assioma dice che l'insieme { 2 , 6 } $\{2,6\}$ esiste.
L'assioma di accoppiamento dice che dati due insiemi, esiste un insieme i cui membri sono esattamente i due insiemi dati. Quindi, dati i due insiemi { 0 , 3 } 0,3 $\{0,3\}$ e 2,5 2,5}}, questo assioma dice che l'insieme $\{2,5\}$ questo assioma dice che l'insieme { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } $\{\{0,3\},\{2,5\}\}$ esiste.
L'assioma di unione dice che per qualsiasi insieme, esiste un insieme che consiste solo degli elementi degli elementi di quell'insieme. Per esempio, dato l'insieme { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} $\{\{0,3\},\{2,5\}\}$ questo assioma dice che l'insieme { 0 , 3 , 2 , 5 } $\{0,3,2,5\}$ esiste.
L'assioma di sostituzione dice che per qualsiasi insieme S {displaystyle S} $S$ e una funzione F {displaystyle F} , $S$ esiste l'insieme che consiste nei risultati della chiamata di F su tutti i membri di S {displaystyle S}. Per esempio, se S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } $S=\{1,2,3,5,6\}$ e F {displaystyle F} è "aggiungi dieci a questo numero", allora l'assioma dice che l'insieme { 11 , 12 , 13 , 15 , 16 } {\displaystyle \11,12,13,15,16} $\{11,12,13,15,16\}$ esiste.
L'assioma dell'infinito dice che l'insieme di tutti i numeri interi (come definito dalla costruzione di Von Neumann) esiste. Questo è l'insieme { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . } {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}} $\{0,1,2,3,4,...\}$
L'assioma dell'insieme di potenza dice che esiste l'insieme di potenza (l'insieme di tutti i sottoinsiemi) di qualsiasi insieme. Per esempio, l'insieme di potenza di { 2 , 5 } 2,5}} $\{2,5\}$ è { { } , { 2 } , { 5 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}} $\{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}$

Assioma della scelta

L'assioma della scelta dice che è possibile prendere un oggetto da ciascuno degli elementi di un insieme e fare un nuovo insieme. Per esempio, dato l'insieme { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} l' $\{\{0,3\},\{2,5\}\}$ assioma della scelta dimostrerebbe che un insieme come { 3 , 5 } $\{3,5\}$ esiste. Questo assioma può essere dimostrato dagli altri assiomi per gli insiemi finiti, ma non per quelli infiniti.