Eliminazione gaussiana

In matematica, l'eliminazione gaussiana (chiamata anche riduzione di riga) è un metodo usato per risolvere sistemi di equazioni lineari. Prende il nome da Carl Friedrich Gauss, un famoso matematico tedesco che ha scritto di questo metodo, ma non lo ha inventato.

Per eseguire l'eliminazione gaussiana, i coefficienti dei termini nel sistema di equazioni lineari sono usati per creare un tipo di matrice chiamata matrice aumentata. Poi, le operazioni elementari di riga sono usate per semplificare la matrice. I tre tipi di operazioni di riga utilizzati sono:

Tipo 1: Commutazione di una fila con un'altra fila.

Tipo 2: Moltiplicare una riga per un numero diverso da zero.

Tipo 3: Aggiunta o sottrazione di una riga da un'altra riga.

L'obiettivo dell'eliminazione gaussiana è quello di ottenere la matrice in forma di retina-echelon. Se una matrice è in forma di row-echelon, ciò significa che la lettura da sinistra a destra, ogni riga inizierà con almeno un termine zero in più rispetto alla riga sopra di essa. Alcune definizioni dell'eliminazione gaussiana dicono che il risultato della matrice deve essere in forma ridotta di row-echelon. Ciò significa che la matrice è in forma di echelon a righe e l'unico termine diverso da zero in ogni riga è 1. L'eliminazione gaussiana che crea un risultato ridotto della matrice a righe echelon è a volte chiamata eliminazione gaussiana.

Esempio

Supponiamo che l'obiettivo sia quello di trovare le risposte a questo sistema di equazioni lineari.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\fscx130\fscy130\frx40}{7}2x&&&\;+\;&&y&&&\;-\fscx130\fscy130\frx40}&&&z&&&&\;=&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

In primo luogo, il sistema deve essere trasformato in una matrice aumentata. In una matrice aumentata, ogni equazione lineare diventa una riga. Da un lato della matrice aumentata, i coefficienti di ogni termine dell'equazione lineare diventano numeri nella matrice. Dall'altro lato della matrice aumentata sono i termini costanti a cui ogni equazione lineare è uguale. Per questo sistema, la matrice aumentata è:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 1 2 - 3 ] {\a6}{\a6}}{\a6}}[inizio{array}{ccc|c}2&1&-1&-1&8\-3&-1&1&2&-11\a6}{\a6}2&1&2&2&-3■fine} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Poi, le operazioni di riga possono essere effettuate sulla matrice aumentata per semplificarla. La tabella seguente mostra il processo di riduzione delle righe sul sistema di equazioni e sulla matrice aumentata.

Sistema di equazioni	Operazioni in fila	Matrice aumentata
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&&;+\\;&&y&&&\;-\&&z&&&&\;=&&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 1 2 - 3 ] {\a6}{\a6}}{\a6}}[inizio{array}{ccc\|c}2&1&-1&-1&8\-3&-1&1&2&-11\a6}{\a6}2&1&2&2&-3■fine} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&y&&&&& -&&&&\;z&&&&\;=&&8&\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&& 2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 2 R 1 → R 2 {\i}} R 2 {\i}+{{\i}frac {3}{2}}} R_{1}{1} {\i} R_{2} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 → R 3 {\i}+R_{3}+R_{1}\i} \i} R_{3 $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 0 2 1 5 ] {\a6} {\a6}{\a6}}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&;+&&&y\;&&-&&&&&&&&;z\&&&=&&8&\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 → R 3 {\i\i}+-4R_{3}+-4R_{2}\i\i}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 0 - 1 1 1 ] {\a6} {\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

La matrice è ora in forma di reticolo di echelon. Questa è anche chiamata forma triangolare.

Sistema di equazioni	Operazioni in fila	Matrice aumentata
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1{displaystyle}{7}2x&&&&;+&&&y\| &&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\i}}} R 2 {\i}+{{\i}frac {1}{2}}} R_{3}{3 \i}{2} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\i} R 1 {\i} R_{1}-R_{3}\i} R_{1} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 0 - 1 1 1 ] {\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\an8}(1) stile di visualizzazione {\an8}{7}2x&&&&;+&&&y\an8} &&&& \an8}(*)&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 → R 2 \displaystyle 2R_{2}} \fscx130\fscy130\frx40}}Destra R_{2 $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ - R 3 → R 3 → R 3 {\fscx130\fscy130\frx40}R 3 →Stile di visualizzazione -R_{3}\fscx130\fscy130\frx40}}Destra R_{3 $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	2 1 0 7 0 1 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\an8}{\an8}{\an8}{\an8} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\an8}(1) - 1{displaystyle {\an8}(7}x&&&&&&;&&&&;&&&& \an8}&&&=;&&2&&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\i} R 1 {\i} R_{1}-R_{2}\i}\i} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\a6}{2}}} R_{1}}}R_{1}\a6} R_{1} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	1 0 0 0 2 0 2 0 1 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

La matrice è ora in forma ridotta di reticolato. La lettura di questa matrice ci dice che le soluzioni per questo sistema di equazioni si verificano quando x = 2, y = 3, e z = -1.

Domande e risposte

D: Che cos'è l'eliminazione gaussiana?

R: L'eliminazione gaussiana è un metodo utilizzato in matematica per risolvere sistemi di equazioni lineari.

D: Da chi prende il nome?

R: Prende il nome da Carl Friedrich Gauss, un famoso matematico tedesco che scrisse di questo metodo, ma non lo inventò.

D: Come viene eseguita l'eliminazione gaussiana?

R: L'eliminazione gaussiana viene eseguita utilizzando i coefficienti dei termini del sistema di equazioni lineari per creare una matrice aumentata. Poi si utilizzano le operazioni elementari di riga per semplificare la matrice.

D: Quali sono i tre tipi di operazioni di riga utilizzati nell'eliminazione gaussiana?

R: I tre tipi di operazioni di riga utilizzati nell'eliminazione gaussiana sono: Scambiare una riga con un'altra riga, moltiplicare una riga per un numero non nullo e aggiungere o sottrarre una riga da un'altra riga.

D: Qual è l'obiettivo dell'eliminazione gaussiana?

R: L'obiettivo dell'eliminazione gaussiana è ottenere la matrice in forma di riga-echelon.

D: Che cos'è la forma riga-echelon?

R: Se una matrice è in forma riga-echelon, significa che leggendo da sinistra a destra, ogni riga inizierà con almeno un termine zero in più rispetto alla riga che la precede.

D: Che cos'è la forma ridotta row-echelon?

R: La forma ridotta di riga-echelon significa che la matrice è in forma di riga-echelon e l'unico termine non nullo in ogni riga è 1. L'eliminazione gaussiana che crea un risultato di matrice ridotta di riga-echelon è talvolta chiamata eliminazione Gauss-Jordan.