Legge dei grandi numeri

Autore: Leandro Alegsa

17-01-2021

La legge dei grandi numeri (LLN) è un teorema della statistica. Si consideri un processo in cui si verificano risultati casuali. Per esempio, una variabile casuale viene osservata ripetutamente. Allora la media dei valori osservati sarà stabile, a lungo termine. Ciò significa che nel lungo periodo, la media dei valori osservati si avvicinerà sempre più al valore atteso.

Quando si lanciano i dadi, i numeri 1, 2, 3, 4, 5 e 6 sono possibili risultati. Sono tutti ugualmente probabili. La popolazione media (o "valore atteso") dei risultati è:

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.

Il grafico seguente mostra i risultati di un esperimento di rulli di una matrice. In questo esperimento si può vedere che la media dei rotoli di dado varia notevolmente all'inizio. Come previsto dal LLN, la media si stabilizza intorno al valore previsto di 3,5 quando il numero di osservazioni diventa grande.

A demonstration of the Law of Large Numbers using die rolls

Storia

Jacob Bernoulli ha descritto per primo la LLN. Dice che era così semplice che anche l'uomo più stupido istintivamente sa che è vero. Nonostante questo, gli ci sono voluti più di 20 anni per sviluppare una buona prova matematica. Una volta trovata, nel 1713 pubblicò la prova su Ars Conjectandi (L'Arte di Congetturare). Lo chiamò il suo "Teorema d'oro". Divenne generalmente conosciuto come "Teorema di Bernoulli" (da non confondere con l'omonima legge della fisica). Nel 1835, S.D. Poisson lo descrisse ulteriormente con il nome di "La loi des grands nombres" (La legge dei grandi numeri). In seguito fu conosciuta con entrambi i nomi, ma la "Legge dei grandi numeri" è usata più frequentemente.

Anche altri matematici hanno contribuito a migliorare la legge. Alcuni di loro erano Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli e Kolmogorov. Dopo questi studi ci sono ora due diverse forme di legge: Una si chiama legge "debole" e l'altra legge "forte". Queste forme non descrivono leggi diverse. Hanno modi diversi di descrivere la convergenza della probabilità osservata o misurata rispetto alla probabilità effettiva. La forma forte della legge implica quella debole.

Domande e risposte

D: Che cos'è la legge dei grandi numeri?

R: La legge dei grandi numeri è un teorema statistico che afferma che se un processo casuale viene osservato ripetutamente, la media dei valori osservati sarà stabile nel lungo periodo.

D: Cosa significa la legge dei grandi numeri?

R: La legge dei grandi numeri significa che con l'aumento del numero di osservazioni, la media dei valori osservati si avvicinerà sempre di più al valore atteso.

D: Che cos'è un valore atteso?

R: Un valore atteso è la media della popolazione dei risultati di un processo casuale.

D: Qual è il valore atteso del lancio di un dado?

R: Il valore atteso del lancio di un dado è la somma dei possibili risultati divisa per il numero di risultati: (1+2+3+4+5+6)/6=3.5.

D: Cosa mostra il grafico nel testo in relazione alla legge dei grandi numeri?

R: Il grafico mostra che la media dei lanci di dadi varia in modo selvaggio all'inizio, ma come previsto dalla LLN, la media si stabilizza intorno al valore atteso di 3,5 quando il numero di osservazioni diventa grande.

D: Come si applica la legge dei grandi numeri al lancio dei dadi?

R: La legge dei grandi numeri si applica al lancio dei dadi, perché con l'aumento del numero di lanci, la media dei lanci si avvicinerà sempre di più al valore previsto di 3,5.

D: Perché la legge dei grandi numeri è importante nella statistica?

R: La legge dei grandi numeri è importante in statistica perché fornisce una base teorica per l'idea che i dati tendono a fare la media su un gran numero di osservazioni. È la base di molti metodi statistici, come gli intervalli di confidenza e i test di ipotesi.