Un teorema è un'idea provata in matematica. I teoremi sono dimostrati usando la logica e altri teoremi già dimostrati. Un teorema che qualcuno deve dimostrare per poter dimostrare un altro teorema si chiama lemma. I teoremi sono composti da due parti, ci sono ipotesi e conclusioni.
I teorici usano la deduzione, a differenza delle teorie empiriche.
Alcuni teoremi sono banali, seguono direttamente le proposizioni. Altri teoremi sono chiamati "profondi", la loro prova è lunga e difficile. A volte, tali prove coinvolgono altre aree della matematica o mostrano connessioni tra aree diverse. Un teorema può essere semplice da dichiarare e tuttavia essere profondo. Un esempio eccellente è l'ultimo teorema di Fermat, e ci sono molti altri esempi di teoremi semplici ma profondi nella teoria dei numeri e nella combinatoria, tra le altre aree.
Ci sono altri teoremi per i quali è nota una prova, ma non è facile scriverla. Tra i migliori esempi ci sono il teorema dei quattro colori e la congettura di Keplero. Entrambi questi teoremi sono noti per essere veri solo riducendoli a una ricerca computazionale che viene poi verificata da un programma per computer. All'inizio molti matematici non accettavano questa forma di prova, ma negli ultimi anni è diventata più diffusa. Il matematico Doron Zeilberger si è spinto addirittura a sostenere che questi sono forse gli unici risultati non banali che i matematici abbiano mai dimostrato. Molti teoremi matematici possono essere ridotti a calcoli più semplici, tra cui le identità polinomiali, trigonometriche e ipergeometriche.
