Teorema
Un teorema è un'idea provata in matematica. I teoremi sono dimostrati usando la logica e altri teoremi già dimostrati. Un teorema che qualcuno deve dimostrare per poter dimostrare un altro teorema si chiama lemma. I teoremi sono composti da due parti, ci sono ipotesi e conclusioni.
I teorici usano la deduzione, a differenza delle teorie empiriche.
Alcuni teoremi sono banali, seguono direttamente le proposizioni. Altri teoremi sono chiamati "profondi", la loro prova è lunga e difficile. A volte, tali prove coinvolgono altre aree della matematica o mostrano connessioni tra aree diverse. Un teorema può essere semplice da dichiarare e tuttavia essere profondo. Un esempio eccellente è l'ultimo teorema di Fermat, e ci sono molti altri esempi di teoremi semplici ma profondi nella teoria dei numeri e nella combinatoria, tra le altre aree.
Ci sono altri teoremi per i quali è nota una prova, ma non è facile scriverla. Tra i migliori esempi ci sono il teorema dei quattro colori e la congettura di Keplero. Entrambi questi teoremi sono noti per essere veri solo riducendoli a una ricerca computazionale che viene poi verificata da un programma per computer. All'inizio molti matematici non accettavano questa forma di prova, ma negli ultimi anni è diventata più diffusa. Il matematico Doron Zeilberger si è spinto addirittura a sostenere che questi sono forse gli unici risultati non banali che i matematici abbiano mai dimostrato. Molti teoremi matematici possono essere ridotti a calcoli più semplici, tra cui le identità polinomiali, trigonometriche e ipergeometriche.
Il teorema di Pitagora ha almeno 370 prove note.
Libri
- Heath, Sir Thomas Little (1897), Le opere di Archimede, Dover, recuperate nel 2009-11-15
- Hoffman, P. (1998). L'uomo che amava solo i numeri: La storia di Paul Erdős e la ricerca della verità matematica. Hyperion, New York.
- Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. Link esterno in |title= (aiuto)CS1 maint: nomi multipli: lista degli autori (link)
Domande e risposte
D: Che cos'è un teorema?
R: Un teorema è un'idea che è stata dimostrata come vera in matematica, utilizzando la logica e altri teoremi già dimostrati.
D: Che cos'è un lemma?
R: Un lemma è un teorema minore che si deve dimostrare per dimostrare un teorema maggiore.
D: Come sono composti i teoremi?
R: I teoremi sono composti da due parti - ipotesi e conclusioni - e utilizzano la deduzione piuttosto che le teorie empiriche.
D: Tutti i teoremi sono difficili da dimostrare?
R: No, alcuni teoremi sono banali in quanto derivano direttamente dalle proposizioni, mentre altri richiedono prove lunghe e difficili che coinvolgono altre aree della matematica o mostrano collegamenti tra aree diverse.
D: Un teorema può essere semplice ma profondo?
R: Sì, un esempio è l'Ultimo Teorema di Fermat, che è semplice da enunciare, ma la sua dimostrazione è lunga e difficile.
D: Esistono teoremi di cui si conosce la prova, ma che non possono essere facilmente scritti?
R: Sì, ad esempio il teorema dei quattro colori e la congettura di Keplero, che possono essere verificati solo attraverso programmi informatici.
D: A volte i teoremi matematici possono essere ridotti a calcoli più semplici?
R: Sì, a volte i teoremi matematici possono essere ridotti a calcoli più semplici, come le identità polinomiali, trigonometriche o ipergeometriche.
