Somiglianza geometrica: definizione, proprietà ed esempi

Proprietà fondamentali

Le principali proprietà della somiglianza sono:

• Angoli invariati: gli angoli corrispondenti rimangono uguali.
• Rapporto di similitudine: esiste un numero positivo k (chiamato rapporto o fattore di scala) tale che ogni lato di una figura è k volte il lato corrispondente dell'altra.
• Proporzionalità delle lunghezze: se AB e CD sono lati corrispondenti, allora AB/C D = k (stesso k per tutte le coppie).
• Perimetro e area: il rapporto tra i perimetri è k, mentre il rapporto tra le aree è k^2.
• Invarianti geometrici: parallelismo e rapporti di segmenti su rette parallele sono preservati; gli angoli orientati rimangono invariati salvo riflessioni.

Criteri di somiglianza per i triangoli

I triangoli sono particolarmente importanti perché sono i poligoni più semplici e per loro la somiglianza si verifica più facilmente. I criteri principali sono:

• AA (angolo-angolo): se due triangoli hanno due angoli rispettivamente uguali, allora sono simili. Poiché la somma degli angoli interni è 180°, due angoli uguali implicano automaticamente anche il terzo uguale.
• SAS (lato-angolo-lato) di similitudine: se due coppie di lati corrispondenti sono proporzionali e gli angoli compresi sono uguali, allora i triangoli sono simili.
• SSS (lato-lato-lato): se i tre lati di un triangolo sono proporzionali ai tre lati di un altro, allora i triangoli sono simili.

Questi criteri permettono di riconoscere la somiglianza con poche informazioni: per esempio il criterio AA è molto usato negli esercizi perché richiede solo l'uguaglianza di due angoli.

Trasformazioni di somiglianza

Geometricamente, la somiglianza tra due figure può essere realizzata da una combinazione di trasformazioni elementari:

• Omotetia (dilatazione): ingrandisce o rimpicciolisce rispetto a un centro O con fattore k. In coordinate, il punto X viene mandato in X' tale che OX' = k·OX (direzione preservata se k>0; se k<0 si ottiene anche una rotazione di 180° rispetto al centro, ovvero una riflessione combinata).
• Rotazione e traslazione: possono essere applicate dopo l'omotetia per allineare orientazione e posizione delle due figure.

Ogni trasformazione di somiglianza è dunque la composizione di un'omotetia e di una isometria (rotazione/traslazione/rispecchiamento).

Effetti su lunghezze, perimetro e area

• Se il rapporto di similitudine è k, allora ogni lunghezza corrispondente viene moltiplicata per k.
• Il perimetro di una figura simile è moltiplicato per k.
• L'area è moltiplicata per k^2. Ad esempio, una figura simile con k = 3 avrà area 9 volte maggiore.

Esempi pratici

• Esempio numerico semplice: un triangolo con lati 3, 4, 5 è simile a un altro con lati 6, 8, 10 con rapporto di similitudine k = 2 (tutti i lati raddoppiati).
• Se in due triangoli rettangoli l'angolo acuto misura 30° in entrambi, i triangoli sono simili (criterio AA). Questo implica che i rapporti dei cateti e dell'ipotenusa sono gli stessi e quindi anche le funzioni trigonometriche degli angoli sono conservate.
• In problemi di proporzionalità con rette parallele, i segmenti corrispondenti su transversali sono proporzionali: questa proprietà è spesso usata per stabilire somiglianze fra triangoli formati da rette parallele.

Relazione con la congruenza

La congruenza è un caso particolare di somiglianza: due figure congruenti sono simili con rapporto di similitudine k = 1, perché hanno la stessa forma e la stessa dimensione. Tuttavia la somiglianza ammette anche fattori di scala diversi da 1.

Casi particolari e osservazioni

• Tutti i cerchi sono simili tra loro: basta un'omotetia per passare da un cerchio all'altro.
• I quadrati sono sempre simili tra loro (fattore di scala dato dal rapporto tra i lati), così come i rettangoli di proporzioni congruenti (stesso rapporto lato/lato).
• Una riflessione può essere necessaria quando le figure hanno orientazioni opposte; la somiglianza non richiede che l'orientazione sia la stessa, ma solo che la forma sia conservata.
• Nel piano cartesiano una similitudine centrata in O con fattore k manda un punto P(x,y) in P' = O + k(P−O); espressa con coordinate, se O è l'origine, P'(x',y') = (k x, k y).

Conoscere i criteri di somiglianza e le loro proprietà è molto utile per risolvere problemi di geometria, calcolare lunghezze incognite, confrontare aree e comprendere come le figure cambiano sotto dilatazioni e isometrie.