Congruenza
In geometria, due figure o oggetti sono congruenti se hanno la stessa forma e dimensione. Anche se una ha la stessa forma e dimensione dell'immagine speculare dell'altra.
Più formalmente, due insiemi di punti sono detti congruenti se, e solo se, uno può essere trasformato nell'altro per isometria. Per l'isometria si usano i movimenti rigidi.
Questo significa che un oggetto può essere riposizionato e riflesso (ma non ridimensionato) in modo da coincidere esattamente con l'altro oggetto. Così due figure piane distinte su un pezzo di carta sono congruenti se possiamo ritagliarle e poi farle coincidere completamente. Il capovolgimento del foglio è permesso.
I poligoni congruenti sono poligoni che se si piega un poligono regolare a metà è un poligono congruente.
Due forme geometriche sono congruenti se una può essere spostata o ruotata in modo che si adatti esattamente al posto dell'altra. Se uno degli oggetti deve cambiare le sue dimensioni, i due oggetti non sono congruenti: sono solo chiamati simili.
Se due figure o oggetti sono congruenti, hanno la stessa forma e dimensione; ma possono essere ruotati, spostati, riflessi o traslati, in modo che si adattino esattamente dove si trova l'altro.
Un esempio di congruenza. I due triangoli a sinistra sono congruenti, mentre il terzo è simile a loro. L'ultimo triangolo non è né simile né congruente a nessuno degli altri. Si noti che la congruenza permette di alterare alcune proprietà, come la posizione e l'orientamento, ma lascia invariate altre, come la distanza e gli angoli. Le proprietà invariate sono chiamate invarianti.
Esempi
- tutti i quadrati che hanno i lati della stessa lunghezza sono congruenti.
- tutti i triangoli equilateri che hanno i lati della stessa lunghezza sono congruenti.
Test di congruenza
- Due angoli e il lato tra loro sono uguali in due triangoli (congruenza ASA)
- Due angoli e un lato non compreso tra loro sono uguali in entrambi i triangoli (congruenza AAS)
- Tutti e tre i lati di entrambi i triangoli sono uguali (congruenza SSS)
- due lati e l'angolo tra loro rendono 2 triangoli congruenti (congruenza SAS)
Come possiamo ottenere nuove forme congruenti?
Abbiamo alcune possibilità, alcune regole per rendere le nuove forme congruenti a quella originale.
- Se spostiamo una forma geomentrica nel piano, otteniamo una forma che è congruente a quella originale.
- Se ruotiamo invece di spostare, allora otteniamo anche una forma congruente a quella originale.
- Anche se prendiamo un'immagine speculare della forma originale, otteniamo comunque una forma congruente.
- Se combiniamo le tre attività una dopo l'altra, allora otteniamo ancora forme congruenti.
- Non ci sono più forme congruenti. Più precisamente, questo significa che se una forma è congruente a quella originale, allora può essere raggiunta dalle tre attività descritte sopra.
La relazione che una forma è congruente ad un'altra forma ha tre famose proprietà.
- Se lasciamo la forma originale al suo posto, allora è congruente a se stessa. Questo comportamento, questa proprietà si chiama riflessività.
Per esempio, se lo spostamento di cui sopra non è uno spostamento proprio, ma solo uno spostamento che fa un movimento di lunghezza zero. Oppure, allo stesso modo, se la rotazione di cui sopra non è una rotazione propria, ma solo una rotazione di angolo zero.
- Se una forma è congruente a un'altra forma, allora quest'altra forma è anche congruente a quella originale. Questo comportamento, questa proprietà si chiama simmetria.
Per esempio, se spostiamo indietro, o ruotiamo indietro, o rispecchiamo la nuova forma a quella originale, allora la forma originale è congruente a quella nuova.
- Se una forma C è congruente a una forma B, e la forma B è congruente alla forma originale A, allora la forma C è anche congruente alla forma originale A. Questo comportamento, questa proprietà è chiamata transitività.
Per esempio, se applichiamo prima uno spostamento e poi una rotazione, la nuova forma risultante è ancora congruente a quella originale.
Le famose tre proprietà, riflessività, simmetria e transitività formano insieme la nozione di equivalenza. Quindi, la proprietà congruenza è una specie di relazione di equivalenza tra le forme di un piano.
Domande e risposte
D: Cosa significa che due figure sono congruenti in geometria?
R: Due figure sono congruenti in geometria se hanno la stessa forma e dimensione, o se una ha la stessa forma e dimensione dell'immagine speculare dell'altra.
D: Come si definiscono due insiemi di punti congruenti?
R: Due insiemi di punti sono chiamati congruenti se e solo se uno può essere trasformato nell'altro per isometria.
D: A cosa servono i moti rigidi nell'isometria?
R: I movimenti rigidi sono utilizzati in isometria per riposizionare, ruotare o riflettere figure geometriche senza ridimensionarle, in modo che coincidano esattamente con altri oggetti.
D: Due figure possono essere congruenti se una di esse deve cambiare le sue dimensioni per coincidere con l'altra?
R: No, se uno degli oggetti deve cambiare le sue dimensioni per coincidere con l'altro, allora i due oggetti non sono congruenti, ma sono chiamati simili.
D: Cosa possiamo dire della congruenza di due figure piane distinte su un foglio di carta?
R: Due figure piane distinte su un pezzo di carta sono congruenti se possiamo ritagliarle e poi farle combaciare completamente, girando il foglio se necessario.
D: Cosa sono i poligoni congruenti?
R: I poligoni congruenti sono poligoni che possono essere piegati a metà per formare un altro poligono regolare, anch'esso congruente.
D: Qual è il criterio per cui due oggetti possono essere definiti congruenti in geometria?
R: Il criterio per cui due oggetti possono essere definiti congruenti in geometria è che un oggetto possa essere riposizionato, ruotato o riflesso in modo da coincidere esattamente con l'altro oggetto, senza modificarne le dimensioni.
