Congruenza

Autore: Leandro Alegsa Data di creazione: 28 febbraio 2021

In geometria, due figure o oggetti sono congruenti se hanno la stessa forma e dimensione. Anche se una ha la stessa forma e dimensione dell'immagine speculare dell'altra.

Più formalmente, due insiemi di punti sono detti congruenti se, e solo se, uno può essere trasformato nell'altro per isometria. Per l'isometria si usano i movimenti rigidi.

Questo significa che un oggetto può essere riposizionato e riflesso (ma non ridimensionato) in modo da coincidere esattamente con l'altro oggetto. Così due figure piane distinte su un pezzo di carta sono congruenti se possiamo ritagliarle e poi farle coincidere completamente. Il capovolgimento del foglio è permesso.

I poligoni congruenti sono poligoni che se si piega un poligono regolare a metà è un poligono congruente.

Due forme geometriche sono congruenti se una può essere spostata o ruotata in modo che si adatti esattamente al posto dell'altra. Se uno degli oggetti deve cambiare le sue dimensioni, i due oggetti non sono congruenti: sono solo chiamati simili.

Se due figure o oggetti sono congruenti, hanno la stessa forma e dimensione; ma possono essere ruotati, spostati, riflessi o traslati, in modo che si adattino esattamente dove si trova l'altro.

Esempi

tutti i quadrati che hanno i lati della stessa lunghezza sono congruenti.
tutti i triangoli equilateri che hanno i lati della stessa lunghezza sono congruenti.

Test di congruenza

Due angoli e il lato tra loro sono uguali in due triangoli (congruenza ASA)
Due angoli e un lato non compreso tra loro sono uguali in entrambi i triangoli (congruenza AAS)
Tutti e tre i lati di entrambi i triangoli sono uguali (congruenza SSS)
due lati e l'angolo tra loro rendono 2 triangoli congruenti (congruenza SAS)

Come possiamo ottenere nuove forme congruenti?

Abbiamo alcune possibilità, alcune regole per rendere le nuove forme congruenti a quella originale.

Se spostiamo una forma geomentrica nel piano, otteniamo una forma che è congruente a quella originale.
Se ruotiamo invece di spostare, allora otteniamo anche una forma congruente a quella originale.
Anche se prendiamo un'immagine speculare della forma originale, otteniamo comunque una forma congruente.
Se combiniamo le tre attività una dopo l'altra, allora otteniamo ancora forme congruenti.
Non ci sono più forme congruenti. Più precisamente, questo significa che se una forma è congruente a quella originale, allora può essere raggiunta dalle tre attività descritte sopra.

La relazione che una forma è congruente ad un'altra forma ha tre famose proprietà.

Se lasciamo la forma originale al suo posto, allora è congruente a se stessa. Questo comportamento, questa proprietà si chiama riflessività.

Per esempio, se lo spostamento di cui sopra non è uno spostamento proprio, ma solo uno spostamento che fa un movimento di lunghezza zero. Oppure, allo stesso modo, se la rotazione di cui sopra non è una rotazione propria, ma solo una rotazione di angolo zero.

Se una forma è congruente a un'altra forma, allora quest'altra forma è anche congruente a quella originale. Questo comportamento, questa proprietà si chiama simmetria.

Per esempio, se spostiamo indietro, o ruotiamo indietro, o rispecchiamo la nuova forma a quella originale, allora la forma originale è congruente a quella nuova.

Se una forma C è congruente a una forma B, e la forma B è congruente alla forma originale A, allora la forma C è anche congruente alla forma originale A. Questo comportamento, questa proprietà è chiamata transitività.

Per esempio, se applichiamo prima uno spostamento e poi una rotazione, la nuova forma risultante è ancora congruente a quella originale.

Le famose tre proprietà, riflessività, simmetria e transitività formano insieme la nozione di equivalenza. Quindi, la proprietà congruenza è una specie di relazione di equivalenza tra le forme di un piano.

Domande e risposte

D: Cosa significa che due figure sono congruenti in geometria?

R: Due figure sono congruenti in geometria se hanno la stessa forma e dimensione, o se una ha la stessa forma e dimensione dell'immagine speculare dell'altra.

D: Come si definiscono due insiemi di punti congruenti?

R: Due insiemi di punti sono chiamati congruenti se e solo se uno può essere trasformato nell'altro per isometria.

D: A cosa servono i moti rigidi nell'isometria?

R: I movimenti rigidi sono utilizzati in isometria per riposizionare, ruotare o riflettere figure geometriche senza ridimensionarle, in modo che coincidano esattamente con altri oggetti.

D: Due figure possono essere congruenti se una di esse deve cambiare le sue dimensioni per coincidere con l'altra?

R: No, se uno degli oggetti deve cambiare le sue dimensioni per coincidere con l'altro, allora i due oggetti non sono congruenti, ma sono chiamati simili.

D: Cosa possiamo dire della congruenza di due figure piane distinte su un foglio di carta?

R: Due figure piane distinte su un pezzo di carta sono congruenti se possiamo ritagliarle e poi farle combaciare completamente, girando il foglio se necessario.

D: Cosa sono i poligoni congruenti?

R: I poligoni congruenti sono poligoni che possono essere piegati a metà per formare un altro poligono regolare, anch'esso congruente.

D: Qual è il criterio per cui due oggetti possono essere definiti congruenti in geometria?

R: Il criterio per cui due oggetti possono essere definiti congruenti in geometria è che un oggetto possa essere riposizionato, ruotato o riflesso in modo da coincidere esattamente con l'altro oggetto, senza modificarne le dimensioni.