La trasformata wavelet è una rappresentazione in tempo-frequenza di un segnale. Ad esempio, la usiamo per la riduzione del rumore, per l'estrazione delle caratteristiche o per la compressione del segnale.

La trasformazione Wavelet del segnale continuo è definita come

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t t {\a6}(a,b)=frac {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,}{\an8}{\an8}

dove

  • ψ \\psi\psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi
  • uno stile di visualizzazione aa denota una dilatazione ondulatoria,
  • b b {\displaystyle b}indica lo spostamento temporale di wavelet e
  • ∗ Il {\displaystyle *}simbolo "stile di visualizzazione" denota un coniugato complesso.

In caso di a = a 0 m a={a_{0}}^{m}} {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}e b = a 0 m k T {\a_{0}}^{m}kT} {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}dove uno 0 > 1 {\an8}{0}>1} {\displaystyle a_{0}>1}, T > 0 {\displaystyle T>0} e m{\displaystyle T>0} {\displaystyle m} e km {\displaystyle k} sono kcostanti intere, la trasformata wavelet è detta trasformata wavelet discreta (di segnale continuo).

In caso di a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}}} {\displaystyle a=2^{m}}e b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} {\displaystyle b=2^{m}kT}dove m > 0 {\fscx130\fscy130\frx40}...dove m > 0... {\displaystyle m>0}, la discreta trasformazione wavelet si chiama diadica. È definita come

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\a6}(m,k)={frac {1}{qrt {2^{m}}}}}int _{-\an8}infty ^^^infty ^^f(t)\an8}f(t)\an8}f(2^{-mt-kT|destra)},} {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,},

dove

  • m mè la scala di frequenza,
  • k kè la scala del tempo e
  • T {\an8} {\displaystyle T}è una costante che dipende dal wavelet della madre.

E' possibile riscrivere la trasformazione discreta diadica del wavelet come

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t t {\a6}[W_{\a6}psi \a6}(m,k)=_infty ^infty ^infty ^f(t)h_{m}left(2^{m}kT-t_right)},} {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,},

dove h m h_{m} {\displaystyle h_{m}}è la caratteristica dell'impulso caratteristico del filtro continuo che è identico a ψ m ∗ {\an8} {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}}per il dato m {\an8}m.

Analogamente, la trasformazione diadica del wavelet con tempo discreto (di segnale discreto) è definita come