Trasformazione Wavelet

La trasformata wavelet è una rappresentazione in tempo-frequenza di un segnale. Ad esempio, la usiamo per la riduzione del rumore, per l'estrazione delle caratteristiche o per la compressione del segnale.

La trasformazione Wavelet del segnale continuo è definita come

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t t {\a6}(a,b)=frac $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ {\an8}{\an8}

dove

ψ \\psi $\psi$ \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi
uno stile di visualizzazione a denota una dilatazione ondulatoria,
b b $b$ indica lo spostamento temporale di wavelet e
∗ Il $*$ simbolo "stile di visualizzazione" denota un coniugato complesso.

In caso di a = a 0 m a={a_{0}}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ e b = a 0 m k T {\a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ dove uno 0 > 1 {\an8}{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} e m $T>0$ {\displaystyle m} e k {\displaystyle k} sono costanti intere, la trasformata wavelet è detta trasformata wavelet discreta (di segnale continuo).

In caso di a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}}} $a=2^{m}$ e b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ dove m > 0 {\fscx130\fscy130\frx40}...dove m > 0... $m>0$ , la discreta trasformazione wavelet si chiama diadica. È definita come

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\a6}(m,k)={frac {1}{qrt {2^{m}}}}}int _{-\an8}infty ^^^infty ^^f(t)\an8}f(t)\an8}f(2^{-mt-kT|destra)},} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

dove

m è la scala di frequenza,
k è la scala del tempo e
T {\an8} $T$ è una costante che dipende dal wavelet della madre.

E' possibile riscrivere la trasformazione discreta diadica del wavelet come

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t t {\a6}[W_{\a6}psi \a6}(m,k)=_infty ^infty ^infty ^f(t)h_{m}left(2^{m}kT-t_right)},} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

dove h m h_{m} $h_{m}$ è la caratteristica dell'impulso caratteristico del filtro continuo che è identico a ψ m ∗ {\an8} ${\psi _{m}}^{*}$ per il dato m {\an8}.

Analogamente, la trasformazione diadica del wavelet con tempo discreto (di segnale discreto) è definita come

Trasformazione wavelet continua del segnale di ripartizione della frequenza. Symlet usato con 5 momenti di fuga.

Domande e risposte

D: Che cos'è la trasformazione wavelet?

R: La trasformata wavelet è una rappresentazione tempo-frequenza di un segnale utilizzata per la riduzione del rumore, l'estrazione di caratteristiche o la compressione del segnale.

D: Come viene definita la trasformata wavelet dei segnali continui?

R: La trasformazione wavelet dei segnali continui è definita come un integrale su tutti i valori di una funzione moltiplicata per una wavelet madre, dove i parametri 'a' e 'b' indicano rispettivamente la dilatazione e lo spostamento temporale.

D: Cosa sono le trasformate wavelet discrete diadiche?

R: Le trasformate wavelet discrete diadiche sono versioni discrete delle trasformate wavelet discrete regolari con scala di frequenza 'm', scala temporale 'k' e costante 'T'. Possono essere riscritte come un integrale su tutti i valori di una funzione moltiplicata per un filtro caratteristico dell'impulso che è identico alla wavelet madre per un determinato m.

D: A cosa si riferisce la "wavelet madre" in questo contesto?

R: In questo contesto, "wavelet madre" si riferisce a funzioni che vengono utilizzate insieme ad altre funzioni per formare la base per il calcolo di un particolare tipo di trasformazione (in questo caso, la Trasformazione Wavelet).

D: Come si calcolano le Wavelet discrete diadiche?

R: Le wavelet discrete diadiche sono calcolate utilizzando un integrale su tutti i valori di una funzione moltiplicata per un filtro caratteristico dell'impulso che è identico alla wavelet madre per un dato m. Inoltre, richiedono la scala di frequenza m, la scala temporale k e la costante T come parametri.

D: Cosa rappresentano 'a' e 'b' quando si definiscono le Wavelet continue?

R: Quando si definiscono le Wavelets continue, 'a' rappresenta la dilatazione, mentre 'b' rappresenta lo spostamento temporale.