Wavelet

Un Wavelet è una funzione matematica utilizzata per scrivere una funzione o un segnale in termini di altre funzioni più semplici da studiare. Molti compiti di elaborazione del segnale possono essere visti in termini di trasformazione di un wavelet. Informalmente parlando, il segnale può essere visto sotto la lente con un ingrandimento dato dalla scala del wavelet. Così facendo, possiamo vedere solo le informazioni che sono determinate dalla forma del wavelet utilizzato.

Il termine inglese "wavelet" è stato introdotto all'inizio degli anni Ottanta dai fisici francesi Jean Morlet e Alex Grossman. Essi usarono la parola francese "ondelette" (che significa "piccola onda"). In seguito, questa parola è stata portata in inglese traducendo "onde" in "wave" dando "wavelet".

Wavelet è la funzione (complessa) dello spazio Hilbert ψ ∈ L 2 ( R ) {\a6}(\a6}(\a6}(\a6}(\a6} $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ . Per applicazioni pratiche dovrebbe soddisfare le seguenti condizioni.

Deve avere un'energia finita.

∫ - ∞ ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\a6} {\a6}}{-\a6}}{{\a6}psi (t)|^{2}dt<<<<infty }} $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

Deve soddisfare una condizione di ammissibilità.

∫ 0 ∞ | | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\a6}{0}}{{{{\a6}{\a6}(\a6}}(\a6}) # sopra l'omega... # # sopra l'omega... # $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ dove ψ ^displaystyle ^displaystyle ^psi ^ ${\hat {\psi }}$ è una trasformazione di Fourier di ψ ^displaystyle ^psi ^,^ $\psi \,$

La condizione media zero implica dalla condizione di ammissibilità.

∫ - ∞ ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\i}displaystyle \i}int _{-\i}infty }^{\i}infty \i}psi (t)dt=0} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

La funzione ψ \\ps $\psi \,$ \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi. Le sue versioni normalizzate tradotte (spostate) e dilatate (scalate) sono definite come segue.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\an8}{a,b}(t)={\an8}frac {\an8}sqrt {1}}{\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}asinistra $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

Il wavelet originale della madre ha i parametri a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ e b = 0 {\displaystyle b=0} $b=0$ . La traduzione è descritta dal $b$ parametro b {\displaystyle b} e la dilatazione da un parametro {\displaystyle a}.

Morlet wavelet

Domande e risposte

D: Che cos'è una wavelet?

R: Una wavelet è una funzione matematica utilizzata per scrivere una funzione o un segnale in termini di altre funzioni più semplici da studiare. Può essere vista sotto la lente con un ingrandimento dato dalla scala della wavelet, permettendoci di vedere solo le informazioni determinate dalla sua forma.

D: Chi ha introdotto il termine "wavelet"?

R: Il termine inglese "wavelet" è stato introdotto all'inizio degli anni '80 dai fisici francesi Jean Morlet e Alex Grossman, che hanno utilizzato la parola francese "ondelette" (che significa "piccola onda"). In seguito, questa parola è stata introdotta in inglese traducendo "onde" in "wave", ottenendo così "wavelet".

D: Che cosa deve soddisfare una wavelet per le applicazioni pratiche?

R: Per le applicazioni pratiche, una wavelet deve avere un'energia finita e soddisfare una condizione di ammissibilità. Questa condizione di ammissibilità stabilisce che deve avere una media pari a zero e soddisfare un integrale sulla frequenza inferiore all'infinito.

D: Cosa si intende per traslazione e dilatazione quando si parla di wavelets?

R: La traslazione si riferisce allo spostamento della wavelet madre lungo l'asse temporale, mentre la dilatazione si riferisce alla scalatura o all'allungamento/restringimento della wavelet madre lungo l'asse temporale. Questi due parametri (traduzione e dilatazione) sono descritti rispettivamente da b e a.

D: Cosa significa che una wavelet ha media zero?

R: La media zero implica che quando si integrano tutti i valori di t da infinito negativo a infinito positivo, la somma deve essere uguale a 0, cioè ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Questo requisito deriva dalla condizione di ammissibilità stessa, come menzionato sopra.

D: Come si definiscono le wavelets madri?

R: Le wavelets madri sono definite come versioni normalizzate della versione traslata (spostata) e dilatata (scalata) delle wavelets madri originali, che hanno i parametri 'a' = 1 & 'b' = 0 .