Wavelet (ondelette): definizione e applicazioni nell'elaborazione del segnale

Wavelet (ondelette): definizione chiara e intuitiva e applicazioni pratiche nell’elaborazione del segnale — analisi multirisoluzione, compressione e denoising efficienti.

Autore: Leandro Alegsa

09-02-2026 19:25

Un wavelet è una funzione matematica impiegata per rappresentare una funzione o un segnale come combinazione di funzioni più semplici e localizzate. I wavelet permettono di analizzare il contenuto temporale e frequenziale di un segnale con una risoluzione che varia con la scala: in pratica si osserva il segnale "con una lente" il cui ingrandimento è determinato dalla scala del wavelet. Molti problemi di elaborazione del segnale possono essere formulati come trasformazioni basate su wavelet (trasformazione di un wavelet), che evidenziano caratteristiche locali (transienti, discontinuità, strutture a diverse scale).

Il termine inglese "wavelet" deriva dalla parola francese "ondelette" introdotta all'inizio degli anni Ottanta dai fisici francesi Jean Morlet e Alex Grossmann (letteralmente "piccola onda").

Definizione matematica e condizioni

Un wavelet è tipicamente una funzione (eventualmente complessa) appartenente allo spazio Hilbert L2(R). In notazione formale si scrive:

$\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$

Per essere utilizzata come wavelet, la funzione ψ deve soddisfare alcune proprietà fondamentali, tra cui:

Energia finita (appartenenza a L2):

$\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

Condizione di ammissibilità, che garantisce l'invertibilità della trasformata wavelet continua e assicura che la media spettrale sia appropriata:

$\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ dove ${\hat {\psi }}$ indica la trasformazione di Fourier di ψ.

Media nulla (condizione che discende dall'ammissibilità):

$\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

In molti casi pratici si richiede anche che il wavelet abbia un certo numero di momenti vanishing (momenti nulli), cioè che ∫ t^k ψ(t) dt = 0 per k = 0, 1, ..., N−1; questo conferisce al wavelet la capacità di annullare polinomi fino all'ordine N−1 e rende la trasformata particolarmente sensibile ai dettagli e meno ai trend polinomiali del segnale.

Wavelet madre, dilatazioni e traslazioni

Un singolo wavelet di riferimento, detto wavelet madre (o "mother wavelet"), genera una famiglia di funzioni tramite dilatazioni (scalings) e traslazioni (shifts). Le versioni normalizzate, tradotte e dilatate si definiscono così:

$\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

La wavelet madre corrisponde ai parametri $a=1$ e $b=0$ . Il parametro $b$ descrive la traslazione (posizione nel tempo), mentre è il parametro di dilatazione (scala): valori di a piccoli corrispondono a wavelet compressi e sensibili ad alte frequenze, valori di a grandi corrispondono a wavelet dilatati e sensibili a basse frequenze.

Trasformate wavelet

Trasformata Wavelet Continua (CWT): fornisce una rappresentazione tempo-scala continua del segnale, utile per analisi dettagliate e per individuare transitori e componenti a diverse scale.
Trasformata Wavelet Discreta (DWT): ottiene una rappresentazione discreta e spesso ridondante minima (o anche ortonormale) utilizzando scale e posizioni discrete, tipicamente potenze di due (analisi multirisoluzione).

La DWT è alla base di implementazioni efficienti tramite filter bank (banchi di filtri) e sottocampionamento: una coppia di filtri a risposta finita (filtro passa-basso per l'approssimazione e filtro passa-alto per i dettagli) seguiti da operazioni di decimazione generano i coefficienti wavelet a diverse risoluzioni. Questa struttura è strettamente collegata all'analisi a multirisoluzione (MRA) e alla funzione di scala φ associata alla famiglia di wavelet.

Tipi di wavelet e proprietà

Esistono numerose famiglie di wavelet, con proprietà diverse tra cui simmetria, continuità, supporto compatto, numero di momenti vanishing e orthonormalità. Alcuni esempi comuni:

Haar: il più semplice (wavelet a gradino), supporto compatto, efficiente ma non continuo.
Daubechies: famiglia di wavelet con supporto compatto e diversi ordini (more vanishing moments), utili per compressione e denoising.
Symlets: varianti più simmetriche delle Daubechies.
Morlet: wavelet complesso simile a una sinusoide modulata da una gaussiana, spesso usato nella CWT per analisi tempo-frequenza.
Mexican hat (Ricker): derivata seconda di una gaussiana, usata per individuare picchi e transienti.

Applicazioni principali

Compressione dei segnali e delle immagini (es. JPEG 2000 usa DWT): i coefficienti wavelet permettono una rappresentazione compatta dei dettagli a diverse scale.
Riduzione del rumore (denoising): sogliando i coefficienti wavelet nelle bande ad alta frequenza si ottiene un buon compromesso tra preservazione dei dettagli e rimozione del rumore.
Analisi tempo-frequenza: utile per segnali non stazionari (segnali biologici, vibrazioni, segnali sismici), mostrando come l'energia si distribuisce su tempo e scala.
Rilevamento di eventi e caratteristiche: edge detection, riconoscimento di pattern e estrazione di feature per machine learning.
Elaborazione audio, elaborazione radar, imaging medico, analisi geofisica e tante altre aree dove la localizzazione temporale e frequenziale è cruciale.

Implementazione e considerazioni pratiche

Nella pratica si sceglie la famiglia di wavelet in base all'applicazione: supporto compatto e momenti vanishing elevati sono vantaggiosi per la compressione, mentre wavelet complessi come Morlet possono essere preferiti per analisi tempo-frequenza dettagliata. La DWT si implementa efficientemente con algoritmi a complessità lineare basati su filter bank. Nella CWT occorre gestire il trade-off tra risoluzione temporale e frequenziale scegliendo opportunamente le scale analizzate.

Infine, la teoria dei wavelet è strettamente connessa ai concetti di analisi funzionale, alle onde stazionarie e alle trasformate integrali; per approfondire i dettagli analitici e le dimostrazioni matematiche, si rimanda alla letteratura specialistica e ai testi su analisi armonica e multirisoluzione.

Morlet wavelet

Domande e risposte

D: Che cos'è una wavelet?

R: Una wavelet è una funzione matematica utilizzata per scrivere una funzione o un segnale in termini di altre funzioni più semplici da studiare. Può essere vista sotto la lente con un ingrandimento dato dalla scala della wavelet, permettendoci di vedere solo le informazioni determinate dalla sua forma.

D: Chi ha introdotto il termine "wavelet"?

R: Il termine inglese "wavelet" è stato introdotto all'inizio degli anni '80 dai fisici francesi Jean Morlet e Alex Grossman, che hanno utilizzato la parola francese "ondelette" (che significa "piccola onda"). In seguito, questa parola è stata introdotta in inglese traducendo "onde" in "wave", ottenendo così "wavelet".

D: Che cosa deve soddisfare una wavelet per le applicazioni pratiche?

R: Per le applicazioni pratiche, una wavelet deve avere un'energia finita e soddisfare una condizione di ammissibilità. Questa condizione di ammissibilità stabilisce che deve avere una media pari a zero e soddisfare un integrale sulla frequenza inferiore all'infinito.

D: Cosa si intende per traslazione e dilatazione quando si parla di wavelets?

R: La traslazione si riferisce allo spostamento della wavelet madre lungo l'asse temporale, mentre la dilatazione si riferisce alla scalatura o all'allungamento/restringimento della wavelet madre lungo l'asse temporale. Questi due parametri (traduzione e dilatazione) sono descritti rispettivamente da b e a.

D: Cosa significa che una wavelet ha media zero?

R: La media zero implica che quando si integrano tutti i valori di t da infinito negativo a infinito positivo, la somma deve essere uguale a 0, cioè ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Questo requisito deriva dalla condizione di ammissibilità stessa, come menzionato sopra.

D: Come si definiscono le wavelets madri?

R: Le wavelets madri sono definite come versioni normalizzate della versione traslata (spostata) e dilatata (scalata) delle wavelets madri originali, che hanno i parametri 'a' = 1 & 'b' = 0 .

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