Wavelet

Un Wavelet è una funzione matematica utilizzata per scrivere una funzione o un segnale in termini di altre funzioni più semplici da studiare. Molti compiti di elaborazione del segnale possono essere visti in termini di trasformazione di un wavelet. Informalmente parlando, il segnale può essere visto sotto la lente con un ingrandimento dato dalla scala del wavelet. Così facendo, possiamo vedere solo le informazioni che sono determinate dalla forma del wavelet utilizzato.

Il termine inglese "wavelet" è stato introdotto all'inizio degli anni Ottanta dai fisici francesi Jean Morlet e Alex Grossman. Essi usarono la parola francese "ondelette" (che significa "piccola onda"). In seguito, questa parola è stata portata in inglese traducendo "onde" in "wave" dando "wavelet".

Wavelet è la funzione (complessa) dello spazio Hilbert ψ L 2 ( R ) {\a6}(\a6}(\a6}(\a6}(\a6}{\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}. Per applicazioni pratiche dovrebbe soddisfare le seguenti condizioni.

Deve avere un'energia finita.

∫ - ∞ ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\a6} {\a6}}{-\a6}}{{\a6}psi (t)|^{2}dt<<<<infty }} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }

Deve soddisfare una condizione di ammissibilità.

∫ 0 ∞ | | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\a6}{0}}{{{{\a6}{\a6}(\a6}}(\a6}) # sopra l'omega... # # sopra l'omega... # {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty }dove ψ ^displaystyle ^displaystyle ^psi ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}}è una trasformazione di Fourier di ψ ^displaystyle ^psi ^,^ {\displaystyle \psi \,}

La condizione media zero implica dalla condizione di ammissibilità.

∫ - ∞ ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\i}displaystyle \i}int _{-\i}infty }^{\i}infty \i}psi (t)dt=0} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}

La funzione ψ \\ps{\displaystyle \psi \,} \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi \psi. Le sue versioni normalizzate tradotte (spostate) e dilatate (scalate) sono definite come segue.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\an8}{a,b}(t)={\an8}frac {\an8}sqrt {1}}{\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}sqrt {\an8}asinistra {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)}

Il wavelet originale della madre ha i parametri a = 1 {\displaystyle a=1} {\displaystyle a=1}e b = 0 {\displaystyle b=0}{\displaystyle b=0} . La traduzione è descritta dal {\displaystyle b}parametro b {\displaystyle b} e la dilatazione da un aparametro {\displaystyle a}.

Morlet wavelet
Morlet wavelet


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