Un wavelet è una funzione matematica impiegata per rappresentare una funzione o un segnale come combinazione di funzioni più semplici e localizzate. I wavelet permettono di analizzare il contenuto temporale e frequenziale di un segnale con una risoluzione che varia con la scala: in pratica si osserva il segnale "con una lente" il cui ingrandimento è determinato dalla scala del wavelet. Molti problemi di elaborazione del segnale possono essere formulati come trasformazioni basate su wavelet (trasformazione di un wavelet), che evidenziano caratteristiche locali (transienti, discontinuità, strutture a diverse scale).

Il termine inglese "wavelet" deriva dalla parola francese "ondelette" introdotta all'inizio degli anni Ottanta dai fisici francesi Jean Morlet e Alex Grossmann (letteralmente "piccola onda").

Definizione matematica e condizioni

Un wavelet è tipicamente una funzione (eventualmente complessa) appartenente allo spazio Hilbert L2(R). In notazione formale si scrive:

{\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}

Per essere utilizzata come wavelet, la funzione ψ deve soddisfare alcune proprietà fondamentali, tra cui:

  • Energia finita (appartenenza a L2):

{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }

  • Condizione di ammissibilità, che garantisce l'invertibilità della trasformata wavelet continua e assicura che la media spettrale sia appropriata:

{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty } dove {\displaystyle {\hat {\psi }}} indica la trasformazione di Fourier di ψ.

  • Media nulla (condizione che discende dall'ammissibilità):

{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}

In molti casi pratici si richiede anche che il wavelet abbia un certo numero di momenti vanishing (momenti nulli), cioè che ∫ t^k ψ(t) dt = 0 per k = 0, 1, ..., N−1; questo conferisce al wavelet la capacità di annullare polinomi fino all'ordine N−1 e rende la trasformata particolarmente sensibile ai dettagli e meno ai trend polinomiali del segnale.

Wavelet madre, dilatazioni e traslazioni

Un singolo wavelet di riferimento, detto wavelet madre (o "mother wavelet"), genera una famiglia di funzioni tramite dilatazioni (scalings) e traslazioni (shifts). Le versioni normalizzate, tradotte e dilatate si definiscono così:

{\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)}

La wavelet madre corrisponde ai parametri {\displaystyle a=1} e {\displaystyle b=0}. Il parametro {\displaystyle b} descrive la traslazione (posizione nel tempo), mentre a è il parametro di dilatazione (scala): valori di a piccoli corrispondono a wavelet compressi e sensibili ad alte frequenze, valori di a grandi corrispondono a wavelet dilatati e sensibili a basse frequenze.

Trasformate wavelet

  • Trasformata Wavelet Continua (CWT): fornisce una rappresentazione tempo-scala continua del segnale, utile per analisi dettagliate e per individuare transitori e componenti a diverse scale.
  • Trasformata Wavelet Discreta (DWT): ottiene una rappresentazione discreta e spesso ridondante minima (o anche ortonormale) utilizzando scale e posizioni discrete, tipicamente potenze di due (analisi multirisoluzione).

La DWT è alla base di implementazioni efficienti tramite filter bank (banchi di filtri) e sottocampionamento: una coppia di filtri a risposta finita (filtro passa-basso per l'approssimazione e filtro passa-alto per i dettagli) seguiti da operazioni di decimazione generano i coefficienti wavelet a diverse risoluzioni. Questa struttura è strettamente collegata all'analisi a multirisoluzione (MRA) e alla funzione di scala φ associata alla famiglia di wavelet.

Tipi di wavelet e proprietà

Esistono numerose famiglie di wavelet, con proprietà diverse tra cui simmetria, continuità, supporto compatto, numero di momenti vanishing e orthonormalità. Alcuni esempi comuni:

  • Haar: il più semplice (wavelet a gradino), supporto compatto, efficiente ma non continuo.
  • Daubechies: famiglia di wavelet con supporto compatto e diversi ordini (more vanishing moments), utili per compressione e denoising.
  • Symlets: varianti più simmetriche delle Daubechies.
  • Morlet: wavelet complesso simile a una sinusoide modulata da una gaussiana, spesso usato nella CWT per analisi tempo-frequenza.
  • Mexican hat (Ricker): derivata seconda di una gaussiana, usata per individuare picchi e transienti.

Applicazioni principali

  • Compressione dei segnali e delle immagini (es. JPEG 2000 usa DWT): i coefficienti wavelet permettono una rappresentazione compatta dei dettagli a diverse scale.
  • Riduzione del rumore (denoising): sogliando i coefficienti wavelet nelle bande ad alta frequenza si ottiene un buon compromesso tra preservazione dei dettagli e rimozione del rumore.
  • Analisi tempo-frequenza: utile per segnali non stazionari (segnali biologici, vibrazioni, segnali sismici), mostrando come l'energia si distribuisce su tempo e scala.
  • Rilevamento di eventi e caratteristiche: edge detection, riconoscimento di pattern e estrazione di feature per machine learning.
  • Elaborazione audio, elaborazione radar, imaging medico, analisi geofisica e tante altre aree dove la localizzazione temporale e frequenziale è cruciale.

Implementazione e considerazioni pratiche

Nella pratica si sceglie la famiglia di wavelet in base all'applicazione: supporto compatto e momenti vanishing elevati sono vantaggiosi per la compressione, mentre wavelet complessi come Morlet possono essere preferiti per analisi tempo-frequenza dettagliata. La DWT si implementa efficientemente con algoritmi a complessità lineare basati su filter bank. Nella CWT occorre gestire il trade-off tra risoluzione temporale e frequenziale scegliendo opportunamente le scale analizzate.

Infine, la teoria dei wavelet è strettamente connessa ai concetti di analisi funzionale, alle onde stazionarie e alle trasformate integrali; per approfondire i dettagli analitici e le dimostrazioni matematiche, si rimanda alla letteratura specialistica e ai testi su analisi armonica e multirisoluzione.