Teoremi di incompletezza di Gödel
I teoremi di incompletezza di Gödel sono il nome dato a due teoremi (affermazioni matematiche vere), dimostrati da Kurt Gödel nel 1931. Sono teoremi di logica matematica.
I matematici una volta pensavano che tutto ciò che è vero ha una prova matematica. Un sistema che ha questa proprietà è chiamato completo; uno che non ce l'ha è chiamato incompleto. Inoltre, le idee matematiche non dovrebbero avere contraddizioni. Questo significa che non dovrebbero essere vere e false allo stesso tempo. Un sistema che non include contraddizioni è detto coerente. Questi sistemi sono basati su insiemi di assiomi. Gli assiomi sono affermazioni che sono accettate come vere e non hanno bisogno di prove.
Gödel ha detto che ogni sistema formale non banale (interessante) è incompleto o inconsistente:
- Ci saranno sempre domande a cui non si può rispondere, usando un certo insieme di assiomi;
- Non si può dimostrare che un sistema di assiomi è coerente, a meno che non si usi un diverso insieme di assiomi.
Questi teoremi sono importanti per i matematici perché dimostrano che è impossibile creare un insieme di assiomi che spieghi tutto in matematica.
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Domande e risposte
D: Quali sono i teoremi di incompletezza di Gödel?
R: I teoremi di incompletezza di Gödel sono due affermazioni matematiche vere, dimostrate da Kurt Gödel nel 1931, nel campo della logica matematica.
D: Che cos'è un sistema completo in matematica?
R: Un sistema completo in matematica è un sistema che ha la proprietà che tutto ciò che è vero ha una prova matematica.
D: Che cos'è un sistema incompleto in matematica?
R: Un sistema incompleto in matematica è un sistema che non ha la proprietà che tutto ciò che è vero ha una prova matematica.
D: Che cos'è un sistema coerente in matematica?
R: Un sistema coerente in matematica è un sistema che non include contraddizioni, il che significa che le idee matematiche non devono essere vere e false allo stesso tempo.
D: Cosa sono gli assiomi in matematica?
R: Gli assiomi in matematica sono affermazioni che vengono accettate come vere e non richiedono prove.
D: Cosa sosteneva Gödel su ogni sistema formale non banale?
R: Gödel sosteneva che ogni sistema formale non banale è incompleto o incoerente.
D: Perché i teoremi di incompletezza di Gödel sono importanti per i matematici?
R: I teoremi di incompletezza di Gödel sono importanti per i matematici perché dimostrano che è impossibile creare un insieme di assiomi che spieghi tutto in matematica.
