I teoremi di incompletezza di Gödel sono il nome dato a due teoremi (affermazioni matematiche vere), dimostrati da Kurt Gödel nel 1931. Sono teoremi di logica matematica.
I matematici una volta pensavano che tutto ciò che è vero ha una prova matematica. Un sistema che ha questa proprietà è chiamato completo; uno che non ce l'ha è chiamato incompleto. Inoltre, le idee matematiche non dovrebbero avere contraddizioni. Questo significa che non dovrebbero essere vere e false allo stesso tempo. Un sistema che non include contraddizioni è detto coerente. Questi sistemi sono basati su insiemi di assiomi. Gli assiomi sono affermazioni che sono accettate come vere e non hanno bisogno di prove.
Gödel ha detto che ogni sistema formale non banale (interessante) è incompleto o inconsistente:
- Ci saranno sempre domande a cui non si può rispondere, usando un certo insieme di assiomi;
- Non si può dimostrare che un sistema di assiomi è coerente, a meno che non si usi un diverso insieme di assiomi.
Questi teoremi sono importanti per i matematici perché dimostrano che è impossibile creare un insieme di assiomi che spieghi tutto in matematica.