Problemi di Hilbert
Nel 1900, il matematico David Hilbert pubblicò una lista di 23 problemi matematici irrisolti. La lista di problemi si rivelò molto influente. Dopo la morte di Hilbert, un altro problema fu trovato nei suoi scritti; questo è oggi conosciuto come il 24° problema di Hilbert. Questo problema riguarda la ricerca di criteri per dimostrare che la soluzione di un problema è la più semplice possibile.
Dei 23 problemi, tre erano irrisolti nel 2012, tre erano troppo vaghi per essere risolti e sei potevano essere parzialmente risolti. Data l'influenza dei problemi, il Clay Mathematics Institute ha formulato una lista simile, chiamata Millennium Prize Problems nel 2000.
Riassunto
La formulazione di alcuni problemi è migliore di quella di altri. Dei problemi di Hilbert formulati in modo pulito, i problemi 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 e 21 hanno una risoluzione che è accettata per consenso. D'altra parte, i problemi 1, 2, 5, 9, 15, 18+, e 22 hanno soluzioni che hanno un'accettazione parziale, ma esiste qualche controversia sul fatto che risolva il problema.
La soluzione del problema 18, la congettura di Keplero, usa una dimostrazione assistita da computer. Questo è controverso, perché un lettore umano non è in grado di verificare la dimostrazione in un tempo ragionevole.
Questo lascia 16, 8 (l'ipotesi di Riemann) e 12 irrisolti. In questa classificazione 4, 16 e 23 sono troppo vaghi per essere descritti come risolti. Anche il 24 ritirato sarebbe in questa classe. Il 6 è considerato un problema di fisica più che di matematica.
Tabella dei problemi
I ventitré problemi di Hilbert sono:
| Problema | Breve spiegazione | Stato | Anno risolto |
| 1º | L'ipotesi del continuo (cioè, non esiste un insieme la cui cardinalità è strettamente compresa tra quella dei numeri interi e quella dei numeri reali) | È stato dimostrato che è impossibile dimostrare o confutare la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con o senza l'assioma della scelta (purché la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con o senza l'assioma della scelta sia coerente, cioè non contenga due teoremi tali che uno sia la negazione dell'altro). Non c'è consenso sul fatto che questa sia una soluzione al problema. | 1963 |
| 2º | Dimostrare che gli assiomi dell'aritmetica sono coerenti. | Non c'è consenso sul fatto che i risultati di Gödel e Gentzen diano una soluzione al problema come affermato da Hilbert. Il secondo teorema di incompletezza di Gödel, dimostrato nel 1931, mostra che nessuna prova della sua consistenza può essere effettuata all'interno dell'aritmetica stessa. La prova di consistenza di Gentzen (1936) mostra che la consistenza dell'aritmetica segue dalla fondatezza dell'ordinale ε0. | 1936? |
| 3º | Dati due poliedri di uguale volume, è sempre possibile tagliare il primo in un numero finito di pezzi poliedrici che possono essere riassemblati per ottenere il secondo? | Risolto. Risultato: no, dimostrato usando gli invarianti di Dehn. | 1900 |
| 4a | Costruire tutte le metriche in cui le linee sono geodetiche. | Troppo vago per essere dichiarato risolto o meno. | - – |
| 5a | I gruppi continui sono automaticamente gruppi differenziali? | Risolta da Andrew Gleason o Hidehiko Yamabe, a seconda di come viene interpretata l'affermazione originale. Se, tuttavia, viene intesa come un equivalente della congettura di Hilbert-Smith, è ancora irrisolta. | 1953? |
| 6a | Assiomatizzare tutta la fisica | Parzialmente risolto. | - – |
| 7a | A b è trascendentale, per a algebrico ≠ 0,1 e b algebrico irrazionale? | Risolto. Risultato: sì, illustrato dal teorema di Gelfond o dal teorema di Gelfond-Schneider. | 1934 |
| 8a | L'ipotesi di Riemann ("la parte reale di qualsiasi zero non banale della funzione zeta di Riemann è ½") e altri problemi di numeri primi, tra cui la congettura di Goldbach e la congettura dei primi gemelli | Irrisolto. | - – |
| 9a | Trova la legge più generale del teorema di reciprocità in qualsiasi campo numerico algebrico | Parzialmente risolto. | - – |
| 10 ° | Trova un algoritmo per determinare se una data equazione diofantina polinomiale con coefficienti interi ha una soluzione intera. | Risolto. Risultato: impossibile, il teorema di Matiyasevich implica che non esiste un tale algoritmo. | 1970 |
| 11º | Risolvere forme quadratiche con coefficienti numerici algebrici. | Parzialmente risolto. [] | - – |
| 12esimo | Estendere il teorema di Kronecker-Weber sulle estensioni abeliane dei numeri razionali a qualsiasi campo numerico di base. | In parte risolto dalla teoria dei campi di classe, anche se la soluzione non è così esplicita come il teorema di Kronecker-Weber. | - – |
| 13º | Risolvere equazioni di 7° grado usando funzioni continue di due parametri. | Irrisolto. Il problema è stato parzialmente risolto da Vladimir Arnold sulla base del lavoro di Andrey Kolmogorov. | 1957 |
| 14esimo | L'anello degli invarianti di un gruppo algebrico che agisce su un anello polinomiale è sempre generato finitamente? | Risolto. Risultato: no, il controesempio è stato costruito da Masayoshi Nagata. | 1959 |
| 15esimo | Fondazione rigorosa del calcolo enumerativo di Schubert. | Parzialmente risolto. [] | - – |
| 16 | Descrivere le posizioni relative degli ovali originati da una curva algebrica reale e come cicli limite di un campo vettoriale polinomiale sul piano. | Irrisolto. | - – |
| 17esimo | Espressione di una funzione razionale definita come quoziente di somme di quadrati | Risolto da Emil Artin e Charles Delzell. Risultato: È stato stabilito un limite superiore per il numero di termini quadrati necessari. Trovare un limite inferiore è ancora un problema aperto. | 1927 |
| 18esimo | (a) Esiste un poliedro che ammette solo una piastrellatura anisoedrica in tre dimensioni? | (a) Risolto. Risultato: sì (di Karl Reinhardt). |
|
| 19 | Le soluzioni delle Lagrangiane sono sempre analitiche? | Risolto. Risultato: sì, dimostrato da Ennio de Giorgi e, indipendentemente e con metodi diversi, da John Forbes Nash. | 1957 |
| 20esimo | Tutti i problemi variazionali con certe condizioni al contorno hanno soluzioni? | Risolto. Un significativo argomento di ricerca per tutto il XX secolo, culminato in soluzioni[] per il caso non lineare. | - – |
| 21º | Prova dell'esistenza di equazioni differenziali lineari con un gruppo monodromico prescritto | Risolto. Risultato: Sì o no, a seconda di formulazioni più esatte del problema. [] | - – |
| 22esimo | Uniformità delle relazioni analitiche per mezzo di funzioni automorfe | Risolto. [] | - – |
| 23esimo | Ulteriore sviluppo del calcolo delle variazioni | Irrisolto. | - – |
Domande e risposte
D: Chi ha pubblicato nel 1900 un elenco di 23 problemi matematici irrisolti?
R: David Hilbert pubblicò una lista di 23 problemi matematici irrisolti nel 1900.
D: Il 24° problema di Hilbert faceva parte dell'elenco originale?
R: No, il 24° problema di Hilbert è stato trovato negli scritti di Hilbert dopo la sua morte.
D: Su cosa verte il 24° problema di Hilbert?
R: Il 24° problema di Hilbert riguarda la ricerca di criteri per dimostrare che la soluzione di un problema è la più semplice possibile.
D: Tutti i 23 problemi della lista di Hilbert sono stati risolti entro il 2012?
R: No, tre dei 23 problemi della lista di Hilbert erano irrisolti nel 2012.
D: Alcuni dei problemi della lista di Hilbert erano troppo vaghi per essere risolti?
R: Sì, tre dei problemi della lista di Hilbert erano troppo vaghi per essere risolti.
D: Quanti dei problemi della lista di Hilbert potevano essere parzialmente risolti?
R: Sei dei problemi della lista di Hilbert potevano essere parzialmente risolti.
D: Il Clay Mathematics Institute ha creato un elenco simile ai problemi di Hilbert?
R: Sì, il Clay Mathematics Institute ha creato una lista simile, chiamata Millennium Prize Problems, nel 2000.
