Ipercubo
In geometria, un ipercubo è un analogo n-dimensionale di un quadrato (n = 2) e di un cubo (n = 3). È una figura chiusa, compatta, convessa, il cui 1-scheletro è costituito da gruppi di segmenti di linee parallele opposte allineate in ciascuna delle dimensioni dello spazio, perpendicolari tra loro e della stessa lunghezza. La diagonale più lunga di un ipercubo di un'unità in n dimensione è uguale a n {\sqrt {\n}}}}}}. 
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Un ipercubo n-dimensionale è anche chiamato n-cubo o un cubo n-dimensionale. Il termine "politopo di misura" è anche usato, in particolare nell'opera di H. S. M. Coxeter (originariamente da Elte, 1912), ma ora è stato sostituito.
L'ipercubo è il caso particolare di un iperrettangolo (chiamato anche n-ortopio).
Un ipercubo unitario è un ipercubo il cui lato ha una lunghezza di un'unità. Spesso, l'ipercubo i cui angoli (o vertici) sono i 2n punti in Rn con ogni coordinata uguale a 0 o 1 è chiamato "l'" ipercubo unitario.
Costruzione
Un ipercubo può essere definito aumentando il numero di dimensioni di una forma:
0 - Un punto è un ipercubo di dimensione zero.
1 - Se si sposta questo punto di una unità di lunghezza, si spazza via un segmento di linea, che è un ipercubo unitario di dimensione uno.
2 - Se si sposta questo segmento di linea la sua lunghezza in direzione perpendicolare a se stesso; esso spazza via un quadrato bidimensionale.
3 - Se si sposta il quadrato di una unità di lunghezza nella direzione perpendicolare al piano su cui si trova, si genera un cubo tridimensionale.
4 - Se si sposta il cubo di una unità di lunghezza nella quarta dimensione, si genera un ipercubo a 4 unità dimensionali (un tesseratto di unità).
Questo può essere generalizzato a qualsiasi numero di dimensioni. Questo processo di spazzamento dei volumi può essere formalizzato matematicamente come una somma di Minkowski: l'ipercubo d-dimensionale è la somma di Minkowski di segmenti di linea di lunghezza unitaria reciprocamente perpendicolari, ed è quindi un esempio di zonotopo.
Lo scheletro 1 di un ipercubo è un grafico ad ipercubo.
Un diagramma che mostra come creare un tesseratto da un punto.
Un'animazione che mostra come creare un tesseratto da un punto.
Pagine correlate
- Simplex - l'analogo n-dimensionale del triangolo
- Iperrettangolo - il caso generale dell'ipercubo, dove la base è un rettangolo.
Domande e risposte
D: Che cos'è un ipercubo?
R: Un ipercubo è un analogo n-dimensionale di un quadrato (n = 2) e di un cubo (n = 3). Si tratta di una figura chiusa, compatta e convessa, il cui scheletro 1 è costituito da gruppi di segmenti di linea paralleli opposti allineati in ciascuna delle dimensioni dello spazio, perpendicolari tra loro e della stessa lunghezza.
D: Qual è la diagonale più lunga in un ipercubo di n dimensioni?
R: La diagonale più lunga in un ipercubo a n dimensioni è uguale a n {displaystyle {\sqrt {n}}.
D: Esiste un altro termine per indicare un ipercubo n-dimensionale?
R: Un ipercubo n-dimensionale è chiamato anche n-cubo o cubo n-dimensionale. Si utilizzava anche il termine "politopo di misura", ma ora è stato superato.
D: Che cosa significa "ipercubo unitario"?
R: Un ipercubo unitario è un ipercubo il cui lato ha una lunghezza di un'unità. Spesso, l'ipercubo unitario si riferisce al caso specifico in cui tutti gli angoli hanno coordinate pari a 0 o 1.
D: Come possiamo definire un "iperrettangolo"?
R: Un iperrettangolo (chiamato anche n-ortogonale) è definito come il caso generale di un ipercubo.
