Quantificatore logico

In logica, un quantificatore è un modo per affermare che un certo numero di elementi soddisfa alcuni criteri. Per esempio, ogni numero naturale ha un altro numero naturale più grande di esso. In questo esempio, la parola "ogni" è un quantificatore. Pertanto, la frase "ogni numero naturale ha un altro numero naturale più grande di esso" è un'espressione quantificata. I quantificatori e le espressioni quantificate sono una parte utile dei linguaggi formali. Sono utili perché permettono agli enunciati rigorosi di affermare quanto sia diffuso un criterio. Due tipi fondamentali di quantificatori usati nella logica dei predicati sono i quantificatori universali ed esistenziali. Un quantificatore universale afferma che tutti gli elementi considerati soddisfano il criterio. Il quantificatore universale è simbolizzato con "∀", una "A" rovesciata, per indicare "tutti". Un quantificatore di esistenza (simbolizzato con "∃") afferma che almeno un elemento considerato soddisfa i criteri. Il quantificatore esistenziale è simbolizzato con "∃", una "E" al contrario, per indicare "esiste".

I quantificatori sono usati anche nelle lingue naturali. Esempi di quantificatori in inglese sono for all, for some, many, few, a lot e no.

Matematica

Questa dichiarazione è infinitamente lunga:

1 - 2 = 1 + 1, e 2 - 2 = 2 + 2, e 3 - 2 = 3 + 3, ..., e 100 - 2 = 100 + 100, e ..., ecc.

Questo è un problema per i linguaggi formali, poiché un enunciato formale deve avere una lunghezza finita. Questi problemi possono essere evitati usando la quantificazione universale. Questo porta al seguente enunciato compatto:

Per ogni numero naturale n, n - 2 = n + n.

Allo stesso modo, possiamo abbreviare una sequenza infinita di affermazioni unite da o:

1 è uguale a 5 + 5, o 2 è uguale a 5 + 5, o 3 è uguale a 5 + 5, ... , o 100 è uguale a 5 + 5, o ..., ecc.

che può essere riscritta usando la quantificazione esistenziale:

Per almeno un numero naturale n, n è uguale a 5+5.

Notazione

I due quantificatori più usati sono il quantificatore universale e il quantificatore di esistenza.

Il quantificatore universale è usato per affermare che per gli elementi di un insieme, gli elementi corrispondono tutti a qualche criterio. Di solito, questa affermazione "per tutti gli elementi" è abbreviata in una "A" capovolta, che è "∀".

Il quantificatore esistenziale è usato per affermare che per gli elementi di un insieme, esiste almeno un elemento che corrisponde a qualche criterio. Di solito, questa affermazione "esiste un elemento" è abbreviata con una "E" capovolta, che è "∃".

Possiamo riscrivere un esempio di dichiarazione inglese con simboli, predicati che rappresentano criteri e quantificatori. L'esempio è "A ciascuno degli amici di Peter o piace ballare o piace andare in spiaggia". Sia X l'insieme di tutti gli amici di Peter. Sia P(x) il predicato "a x piace ballare". Sia Q(x) il predicato "a x piace andare in spiaggia". Possiamo riscrivere l'esempio usando la notazione formale come ∀ x ∈ X , P ( x ) ∨ Q ( x ) {\displaystyle \forall {x}{\in }X,P(x)\lor Q(x)}{\displaystyle \forall {x}{\in }X,P(x)\lor Q(x)} . L'affermazione può essere letta come "per ogni x che è un membro di X, P si applica a x o Q si applica a x".

Ci sono altri modi di usare i quantificatori nel linguaggio formale. Ciascuna delle seguenti affermazioni dice la stessa cosa di ∃ x ∈ X , P ( x ) {\displaystyle \esiste {x}{in }X,P(x)}{\displaystyle \exists {x}{\in }X,P(x)} :

  • x P {displaystyle \exists {x}P} {\displaystyle \exists {x}P}
  • ( ∃ x ) P { {displaystyle (\exists {x})P} {\displaystyle (\exists {x})P}
  • ( ∃ x . P ) {\displaystyle (\exists x\ .\ P)} {\displaystyle (\exists x\ .\ P)}
  • x ⋅ P {displaystyle \esiste x \cdot \P} {\displaystyle \exists x\ \cdot \ P}
  • ( ∃ x : P ) {\displaystyle (\exists x:P)} {\displaystyle (\exists x:P)}
  • x ∈ X P {displaystyle ∈exists ∈X{in},P} {\displaystyle \exists {x}{\in }X\,P}
  • x : X P Esiste ∃,x{:}X\P} {\displaystyle \exists \,x{:}X\,P}

Ci sono altri modi per rappresentare il quantificatore universale:

  • ( x ) P {\displaystyle (x)\,P} {\displaystyle (x)\,P}
  • x P {displaystyle \bigwedge _{x}P} {\displaystyle \bigwedge _{x}P}

Diversi enunciati sopra includono esplicitamente X, l'insieme di elementi a cui si applica il quantificatore. Questo insieme di elementi è anche conosciuto come il campo della quantificazione, o l'universo del discorso. Alcune delle dichiarazioni di cui sopra non includono un tale insieme. In questo caso, l'insieme dovrà essere specificato prima dell'affermazione. Per esempio, "x è una mela" deve essere dichiarato prima di ∃ x P ( x ) {\displaystyle \esiste {x}P(x)}{\displaystyle \exists {x}P(x)} . In questo caso, stiamo facendo un'affermazione che almeno una mela corrisponde al predicato P.

Usare formalmente i quantificatori non richiede l'uso del simbolo x. Il simbolo x è stato usato in tutto questo articolo, ma può essere usato qualsiasi simbolo, come y. Assicuratevi di non fare riferimento a due cose diverse con lo stesso simbolo quando scegliete i simboli.

Nesting

È importante mettere i quantificatori nel giusto ordine. Questo è un esempio di frase inglese che mostra come il significato cambia con l'ordine:

Per ogni numero naturale n, esiste un numero naturale s tale che s = n2.

Questa affermazione è vera. Essa afferma che ogni numero naturale ha un quadrato. Tuttavia, se invertiamo l'ordine dei quantificatori:

Esiste un numero naturale s, tale che per ogni numero naturale n, s = n2.

Questa affermazione è falsa. Sostiene che c'è un numero naturale s che è il quadrato di ogni numero naturale.

In alcune circostanze cambiare l'ordine dei quantificatori non cambia il significato dell'affermazione. Per esempio:

Esiste un numero naturale x ed esiste un numero naturale y tale che x = y2.

Altri quantificatori

Ci sono anche quantificatori meno comuni usati dai matematici.

Un esempio è il quantificatore di soluzione. È usato per dichiarare quali elementi risolvono una particolare equazione. Il quantificatore di soluzione è rappresentato da un § (segno di sezione). Per esempio, la seguente affermazione afferma che i quadrati di 0, 1 e 2 sono minori di 4. : [ § n ∈ N n 2 ≤ 4 ] = { 0 , 1 , 2 } {\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quadro n^{2}leq 4\right]=\left{0,1,2\right}} {\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\left\{0,1,2\right\}}

Altri quantificatori sono:

  • Ci sono molti elementi tali che...
  • Ci sono pochi elementi tali che...
  • Ci sono infiniti elementi tali che...
  • Per tutti gli elementi, ma finitamente molti... (talvolta espresso come "per quasi tutti gli elementi...").
  • Ci sono innumerevoli elementi tali che...
  • Per tutti gli elementi che non sono numericamente numerosi...

Storia

Il termine logica fu sviluppato da Aristotele. Era una prima forma di logica e includeva la quantificazione. L'uso della quantificazione era più vicino a quello del linguaggio naturale. Questo significava che le affermazioni nella logica dei termini con quantificatori erano meno adatte all'analisi formale. La logica dei termini includeva quantificatori per Tutti, Alcuni e No (nessuno) nel IV secolo a.C.

Nel 1879, Gottlob Frege creò una notazione per la quantificazione universale. A differenza di oggi, egli rappresentava una quantificazione universale scrivendo una variabile sopra una fossetta in una linea altrimenti dritta. Frege non creò una notazione per la quantificazione esistenziale. Invece, combinò la quantificazione universale e una serie di negazioni per fare una dichiarazione equivalente. L'uso di Frege della quantificazione non fu ampiamente conosciuto fino ai Principi della matematica di Bertrand Russell del 1903.

Nel 1885, Charles Sanders Peirce e il suo studente Oscar Howard Mitchell crearono anche una notazione per i quantificatori universali ed esistenziali. Scrissero Πx e Σx dove ora scriviamo ∀x e ∃x. La notazione di Pierce fu usata da molti matematici fino agli anni '50.

Nel 1897, William Ernest Johnson e Giuseppe Peano crearono un'altra notazione per la quantificazione universale ed esistenziale. Furono influenzati dalla precedente notazione di quantificazione di Pierce. Johnson e Peano usarono la semplice (x) per la quantificazione universale e ∃x per la quantificazione esistenziale. L'influenza di Peano sulla matematica diffuse questa notazione in tutta Europa.

Nel 1935, Gerhard Gentzen creò il simbolo ∀ per la quantificazione universale. Non è stato ampiamente utilizzato fino agli anni '60.

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