I due quantificatori più usati sono il quantificatore universale e il quantificatore di esistenza.
Il quantificatore universale è usato per affermare che per gli elementi di un insieme, gli elementi corrispondono tutti a qualche criterio. Di solito, questa affermazione "per tutti gli elementi" è abbreviata in una "A" capovolta, che è "∀".
Il quantificatore esistenziale è usato per affermare che per gli elementi di un insieme, esiste almeno un elemento che corrisponde a qualche criterio. Di solito, questa affermazione "esiste un elemento" è abbreviata con una "E" capovolta, che è "∃".
Possiamo riscrivere un esempio di dichiarazione inglese con simboli, predicati che rappresentano criteri e quantificatori. L'esempio è "A ciascuno degli amici di Peter o piace ballare o piace andare in spiaggia". Sia X l'insieme di tutti gli amici di Peter. Sia P(x) il predicato "a x piace ballare". Sia Q(x) il predicato "a x piace andare in spiaggia". Possiamo riscrivere l'esempio usando la notazione formale come ∀ x ∈ X , P ( x ) ∨ Q ( x ) {\displaystyle \forall {x}{\in }X,P(x)\lor Q(x)}
. L'affermazione può essere letta come "per ogni x che è un membro di X, P si applica a x o Q si applica a x".
Ci sono altri modi di usare i quantificatori nel linguaggio formale. Ciascuna delle seguenti affermazioni dice la stessa cosa di ∃ x ∈ X , P ( x ) {\displaystyle \esiste {x}{in }X,P(x)}
:
- ∃ x P {displaystyle \exists {x}P}
- ( ∃ x ) P { {displaystyle (\exists {x})P}
- ( ∃ x . P ) {\displaystyle (\exists x\ .\ P)}
- ∃ x ⋅ P {displaystyle \esiste x \cdot \P}
- ( ∃ x : P ) {\displaystyle (\exists x:P)}
- ∃ x ∈ X P {displaystyle ∈exists ∈X{in},P}
- ∃ x : X P ∃ Esiste ∃,x{:}X\P}
Ci sono altri modi per rappresentare il quantificatore universale:
- ( x ) P {\displaystyle (x)\,P}
- ⋀ x P {displaystyle \bigwedge _{x}P}
Diversi enunciati sopra includono esplicitamente X, l'insieme di elementi a cui si applica il quantificatore. Questo insieme di elementi è anche conosciuto come il campo della quantificazione, o l'universo del discorso. Alcune delle dichiarazioni di cui sopra non includono un tale insieme. In questo caso, l'insieme dovrà essere specificato prima dell'affermazione. Per esempio, "x è una mela" deve essere dichiarato prima di ∃ x P ( x ) {\displaystyle \esiste {x}P(x)}
. In questo caso, stiamo facendo un'affermazione che almeno una mela corrisponde al predicato P.
Usare formalmente i quantificatori non richiede l'uso del simbolo x. Il simbolo x è stato usato in tutto questo articolo, ma può essere usato qualsiasi simbolo, come y. Assicuratevi di non fare riferimento a due cose diverse con lo stesso simbolo quando scegliete i simboli.
![{\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\left\{0,1,2\right\}}](https://www.alegsaonline.com/image/43cd6e63f05602d0774652b6daac21303199aa9b.svg)