Scattering di Mie: definizione e spiegazione della diffusione della luce

Scattering di Mie: definizione, principi, differenze con Rayleigh e applicazioni nella dispersione della luce per particelle di dimensioni variabili.

Lo scattering Mie è il modo in cui la luce si disperde quando colpisce un oggetto. Prende il nome dal fisico tedesco Gustav Mie. Questa teoria è valida per tutte le lunghezze d'onda della luce e per tutte le dimensioni degli oggetti. Se l'oggetto è molto più piccolo della lunghezza d'onda della luce, anche la teoria della dispersione di Rayleigh è abbastanza buona.

Definizione e ambito di validità

La teoria di Mie descrive la diffusione della luce da parte di particelle sferiche e omogenee mediante la soluzione della equazione di Maxwell con condizioni al contorno appropriate. È esatta per particelle sferiche indipendentemente dalle dimensioni relative rispetto alla lunghezza d'onda; in pratica la si applica a particelle solide, goccioline o aerosol immerse in un mezzo trasparente.

Parametri principali

• Parametro di dimensione x = 2π r / λ, dove r è il raggio della sfera e λ la lunghezza d'onda nel mezzo: controlla il regime della diffusione (Rayleigh per x ≪ 1, Mie intermedio, ottica geometrica per x ≫ 1).
• Indice di rifrazione relativo m = n_particella / n_medio, che può essere complesso (la parte immaginaria rappresenta l'assorbimento).
• Coefficienti di scattering, estinzione e assorbimento (Q_sca, Q_ext, Q_abs), che caratterizzano la frazione di energia deviata o rimossa dalla direzione originale.

Formule principali (forma compatta della teoria di Mie)

I risultati quantitativi si ottengono espandendo il campo incidente in armoniche sferiche. Si definiscono i coefficienti complessi a_n e b_n (dipolo, quadrupolo, ecc.), funzione di x e m, tramite funzioni di Bessel riccati (ψ_n, ξ_n). Una forma utile delle espressioni è:

a_n = [ m ψ_n(m x) ψ_n'(x) − ψ_n(x) ψ_n'(m x) ] / [ m ψ_n(m x) ξ_n'(x) − ξ_n(x) ψ_n'(m x) ]
b_n = [ ψ_n(m x) ψ_n'(x) − m ψ_n(x) ψ_n'(m x) ] / [ ψ_n(m x) ξ_n'(x) − m ξ_n(x) ψ_n'(m x) ]

dove ψ_n(z) = z j_n(z) e ξ_n(z) = z h_n^{(1)}(z) sono le funzioni di Riccati–Bessel; j_n e h_n^{(1)} sono le normali funzioni di Bessel sferiche.

Le efficienze (fattori adimensionali) di estinzione e scattering si calcolano come:

Q_ext = (2/x^2) ∑_{n=1}^{∞} (2n+1) Re(a_n + b_n)
Q_sca = (2/x^2) ∑_{n=1}^{∞} (2n+1) (|a_n|^2 + |b_n|^2)
Q_abs = Q_ext − Q_sca

La funzione d'angolo (phase function) e la matrice di scattering (matrice di Mueller per luce polarizzata) si ottengono anch'esse come somme sui coefficienti a_n e b_n; da queste si ricavano quantità come il parametro di asimmetria g = ⟨cosθ⟩, che misura la predominanza dello scattering in avanti.

Caratteristiche fisiche e interpretazione qualitativa

• Per particelle con x dell'ordine di 1 si osservano risonanze, picchi e frange nell'efficienza dovuti alle modalità interne della sfera (effetto “ripples” o oscillazioni di Mie).
• Per particelle grandi (x ≫ 1) la diffusione è fortemente orientata in avanti: la maggior parte della luce è deviata ad angoli piccoli rispetto alla direzione incidente.
• Lo scattering di Mie è generalmente meno dipendente dalla lunghezza d'onda rispetto a Rayleigh; per grandi particelle la luce bianca non è fortemente dispersa in base al colore, motivo per cui le goccioline di nuvola appaiono bianche.
• La polarizzazione della luce diffusa varia con l'angolo e le dimensioni: lo studio della polarizzazione fornisce informazioni sulle dimensioni e sull'indice di rifrazione delle particelle.

Applicazioni pratiche

• Ottica atmosferica: spiegazione del colore del cielo, degli aloni e della brillantezza delle nubi.
• Caratterizzazione degli aerosol e misura delle dimensioni delle particelle (particle sizing) in laboratorio e in campo.
• Biomedicina: analisi dello scattering da cellule e tessuti per diagnostica ottica.
• Progettazione di rivestimenti e polveri ottiche, telerilevamento e modellizzazione dell'irraggiamento solare in presenza di particelle.

Limiti e generalizzazioni

La teoria di Mie è esatta solo per sfere omogenee. Per particelle non sferiche o eterogenee si utilizzano metodi numerici come il metodo T-matrix (per particelle con simmetrie), il metodo degli elementi discreti (DDA) o algoritmi di ottica geometrica per particelle molto grandi. Inoltre, per mezzi con distribuzioni di dimensione si calcolano medie statistiche delle grandezze di scattering.

Calcolo numerico e suggerimenti pratici

• La serie sui termini n converge bene se si somma fino a n_max ≈ x + 4 x^{1/3} + 2 (stima pratica usata nei codici).
• Esistono librerie e software consolidati per il calcolo di Mie (implementazioni in Fortran, C, Python, MATLAB) che gestiscono stabilità numerica e calcolo delle funzioni di Bessel complesse.
• Per x ≪ 1 è sufficiente la formula di Rayleigh (scattering ∝ λ^−4), mentre per x ≫ 1 si possono usare approssimazioni di ottica geometrica o la teoria dell'aberrazione anomala per semplificare i calcoli.

In sintesi, lo scattering di Mie fornisce una descrizione completa della diffusione della luce per particelle sferiche di qualsiasi dimensione rispetto alla lunghezza d'onda, permettendo di prevedere quantità osservabili (intensità diffusa, polarizzazione, efficienze di estinzione e scattering) utili in molte applicazioni scientifiche e tecnologiche.

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