Monty Hall: spiegazione e soluzione del famoso problema di probabilità

Scopri il problema di Monty Hall: spiegazione chiara, soluzione passo passo e perché cambiare scelta raddoppia le probabilità di vincere l'auto.

Il problema di Monty Hall è un famoso problema di probabilità. È basato sul game show televisivo statunitense Let's Make a Deal e prende il nome dal presentatore Monty Hall.

Le regole classiche, nella versione semplice, sono le seguenti: dietro tre porte c'è nascosta un'auto (premio di alto valore) e dietro le altre due porte ci sono delle capre (premi di basso valore). Il giocatore sceglie una porta senza aprirla. L'ospite, che sa cosa c'è dietro ogni porta, apre quindi una delle due porte rimanenti e mostra che dietro quella porta c'è una capra; l'ospite sceglie sempre una porta con la capra (se entrambe le porte rimanenti hanno capre, può sceglierne una a caso). Infine viene offerta al giocatore la possibilità di rimanere con la porta scelta inizialmente o di cambiare scegliendo l'unica porta rimasta chiusa. La domanda è: cambiare aumenta le probabilità di vincere l'auto?

Risposta intuitiva e spiegazione

A prima vista può sembrare che le due porte rimaste abbiano la stessa probabilità, cioè 1/2 ciascuna. Tuttavia la vera risposta è che cambiando si aumenta la probabilità di vincere l'auto da 1/3 (circa 33,3%) a 2/3 (circa 66,7%).

Un modo semplice per capirlo è considerare i tre casi possibili in cui il giocatore fa la prima scelta (ogni caso ha probabilità 1/3):

1. Ha scelto l'auto (probabilità 1/3). L'ospite apre una porta con la capra; se il giocatore decide di cambiare, passerà a una porta con la capra e quindi perderà.
2. Ha scelto una capra (probabilità 1/3). L'ospite aprirà l'altra porta con la capra? No: dato che il giocatore ha scelto una capra, tra le due porte rimanenti una nasconde l'auto e l'altra una capra; l'ospite aprirà la porta con la capra e, cambiando, il giocatore prenderà l'auto. Quindi cambiando vince in questo caso.
3. Ha scelto l'altra capra (probabilità 1/3). Per ragioni simili al caso precedente, cambiando il giocatore otterrà l'auto.

Riassumendo: nei 2 casi su 3 in cui la scelta iniziale era una capra, il cambio porta a vincere l'auto; nel solo caso in cui la scelta iniziale era l'auto (1 su 3) il cambio fa perdere. Quindi la probabilità di vincere cambiando è 2/3.

Dimostrazione formale (breve)

Indicando con C l'evento che l'auto sia dietro la porta scelta inizialmente e con H l'evento che l'ospite apra una porta con una capra, vale:

P(C) = 1/3, quindi P(non C) = 2/3. L'ospite, dato che conosce la posizione dell'auto e apre sempre una porta con la capra, non cambia la probabilità che l'auto fosse inizialmente nella porta scelta. Se non era nella porta scelta (probabilità 2/3), allora necessariamente è nella porta rimanente dopo che l'ospite ha aperto una capra. Quindi la probabilità che l'auto sia nell'altra porta chiusa è 2/3, mentre quella che sia nella porta scelta inizialmente resta 1/3.

Perché molte persone sbagliano

• Si pensa che l'atto dell'ospite di aprire una porta renda le due porte rimanenti equivalenti (50/50). Ma l'ospite non agisce a caso: la sua scelta è informata e vincolata a mostrare sempre una capra.
• Se invece l'ospite aprisse a caso una delle due porte rimanenti (e talvolta potesse aprire l'auto), allora la situazione sarebbe diversa e le probabilità cambierebbero. Le conclusioni dipendono dalle regole del comportamento dell'ospite.

Varianti e generalizzazioni

• Con n porte e una sola auto, se il giocatore sceglie una porta iniziale (probabilità 1/n) e l'ospite apre n-2 porte con capre lasciandone una chiusa, allora passando all'unica porta rimasta la probabilità di vincere diventa (n-1)/n.
• Se l'ospite non conosce la posizione dell'auto o non è obbligato ad aprire una porta con la capra, bisogna ridefinire il problema e ricalcolare le probabilità; spesso in questi casi il vantaggio dello switch scompare o cambia.

Come verificarlo praticamente

È facile verificare il risultato con una simulazione: ripetere il gioco molte volte (anche mentalmente o su carta) assegnando casualmente l'auto dietro una delle tre porte e facendo seguire all'ospite la regola di aprire sempre una porta con la capra. Registrando i risultati si vedrà che la strategia "cambiare sempre" vince circa il 66,7% delle volte, mentre "restare sempre" vince circa il 33,3% delle volte.

Conclusione

Con le regole classiche del problema (ospite che conosce la posizione dell'auto e apre sempre una porta con una capra) la strategia ottimale è cambiare: questo raddoppia la probabilità di vincere l'auto, portandola da 1/3 a 2/3.

Domande e risposte

D: Qual è il problema di Monty Hall?

D. Cosa sa il presentatore?

D: Cambiare le scelte aumenta le possibilità di ottenere un'auto?

D: Come funziona questa probabilità?

D: È vero che lo scambio aumenta le possibilità di vincere due volte su tre?

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