Il metodo di Newton
Il metodo di Newton fornisce un modo per trovare i veri zeri di una funzione. Questo algoritmo è talvolta chiamato metodo Newton-Raphson, dal nome di Sir Isaac Newton e Joseph Raphson.
Il metodo utilizza il derivato della funzione per trovare le sue radici. Deve essere fatto un "valore indovinato" iniziale per la posizione dello zero. Da questo valore, una nuova ipotesi viene calcolata da questa formula:
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\a6}=x_{n+1}=x_{n}-{\a6}-{{frac {f(x_{n})}}}{f'(x_{n})}}}}}}(x_{n) 
Qui xn è l'ipotesi iniziale e xn+1 è l'ipotesi successiva. La funzione f (per la quale si sta risolvendo lo zero) ha la derivata f'.
Applicando ripetutamente questa formula alle congetture generate (cioè impostando il valore di xn all'output della formula e ricalcolando), il valore delle congetture si avvicinerà ad uno zero della funzione.
Il metodo di Newton può essere spiegato graficamente guardando le intersezioni delle linee tangenti con l'asse x. Per prima cosa si calcola una linea tangente alla f all'asse xn. Successivamente, si trova l'intersezione tra questa linea tangente e l'asse x. Infine, la posizione x di questa intersezione viene registrata come la prossima ipotesi, xn+1.
La funzione (blu) viene utilizzata per calcolare la pendenza di una linea tangente (rossa) a xn.
Problemi con il metodo di Newton
Il metodo di Newton può trovare una soluzione rapidamente se il valore di indovina inizia sufficientemente vicino alla radice desiderata. Tuttavia, quando il valore di indovina iniziale non è vicino, e a seconda della funzione, il metodo di Newton può trovare la risposta lentamente o non trovarla affatto.
Ulteriori letture
- Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). Metodo di Newton: Un approccio aggiornato della teoria di Kantorovich. Birkhäuser.
- Peter Deuflhard, Metodi Newton per i problemi non lineari. Affine Invarianza e Algoritmi adattivi, Seconda edizione stampata. Serie Matematica computazionale 35, Springer (2006)
- Yamamoto, T. (2001). "Sviluppi storici nell'analisi di convergenza per i metodi di Newton e simili a Newton". In Brezinski, C.; Wuytack, L. (eds.). Analisi numerica : Sviluppi storici nel XX secolo. Olanda Settentrionale. pp. 241-263.
Vedi anche
- Teorema di Kantorovich (Dichiarazione sulla convergenza del metodo di Newton, trovato da Leonid Kantorovich)
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Domande e risposte
D: Che cos'è il metodo di Newton?
R: Il metodo di Newton è un algoritmo per trovare gli zeri reali di una funzione. Utilizza la derivata della funzione per calcolare le sue radici e richiede un valore di ipotesi iniziale per la posizione dello zero.
D: Chi ha sviluppato questo metodo?
R: Il metodo è stato sviluppato da Sir Isaac Newton e Joseph Raphson, per cui a volte viene chiamato metodo Newton-Raphson.
D: Come funziona questo algoritmo?
R: Questo algoritmo funziona applicando ripetutamente una formula che prende un valore di ipotesi iniziale (xn) e calcola una nuova ipotesi (xn+1). Ripetendo questo processo, le ipotesi si avvicineranno allo zero della funzione.
D: Cosa è necessario per utilizzare questo algoritmo?
R: Per utilizzare questo algoritmo, deve avere un "valore di ipotesi" iniziale per la posizione dello zero, nonché una conoscenza della derivata della funzione data.
D: Come possiamo spiegare il Metodo di Newton graficamente?
R: Possiamo spiegare il Metodo di Newton graficamente osservando le intersezioni tra le linee tangenti e l'asse x. Innanzitutto, si calcola una linea tangente a f in corrispondenza di xn. Poi, troviamo l'intersezione tra questa linea tangente e l'asse x e registriamo la sua posizione x come nostra prossima ipotesi - xn+1.
D: C'è qualche limitazione nell'utilizzo del Metodo di Newton?
R: Sì, se il valore dell'ipotesi iniziale è troppo lontano dalla radice reale, potrebbe richiedere più tempo o addirittura non riuscire a convergere verso la radice a causa delle oscillazioni intorno ad essa o della divergenza rispetto ad essa.
