Congettura di Poincaré
La Congettura di Poincaré è una domanda sulle sfere della matematica. Prende il nome da Henri Poincaré, il matematico e fisico francese che l'ha formulata nel 1904.
La sfera (chiamata anche 2 sfere, in quanto superficie bidimensionale, anche se di solito è vista come all'interno di uno spazio tridimensionale) ha la proprietà che qualsiasi anello su di essa può essere contratto in un punto (se un elastico è avvolto intorno alla sfera, è possibile farlo scorrere fino a un punto). I matematici dicono che la sfera a 2 sfere è semplicemente connessa. Altri spazi non hanno questa proprietà, per esempio la ciambella: un elastico che una volta gira intorno all'intera ciambella non può essere fatto scivolare fino ad un punto senza che lasci la superficie.
I matematici sapevano che questa proprietà era unica per le 2 sfere, nel senso che qualsiasi altro spazio semplicemente connesso che non ha bordi e che è abbastanza piccolo (in termini matematici, cioè compatto) è in realtà le 2 sfere. Non è più vero, però, se si toglie l'idea di piccolezza, perché anche un piano infinitamente grande è semplicemente connesso. Inoltre, un disco regolare (un cerchio e il suo interno) è semplicemente collegato, ma ha un bordo (il cerchio di delimitazione).
La congettura si chiede se lo stesso vale per la 3-sfera, che è un oggetto che vive naturalmente in quattro dimensioni. Questa domanda ha motivato gran parte della matematica moderna, soprattutto nel campo della topologia. La questione è stata finalmente risolta nel 2002 da Grigori Perelman, un matematico russo, con metodi dalla geometria, dimostrando che è effettivamente vera. Per il suo lavoro gli è stata assegnata una medaglia Fields Medal e il Millennium Prize da un milione di dollari, che ha rifiutato entrambi.
La congettura di Poincaré può essere estesa anche a dimensioni più elevate: questa è la congettura generalizzata di Poincaré. Sorprendentemente, era più facile provare il fatto per le sfere di dimensioni più elevate: nel 1960, Smale lo dimostrò per le 5 sfere, 6 sfere e oltre. Nel 1982, Freedman ha dimostrato che era vero anche per la 4a sfera, per la quale è stato premiato con una medaglia Fields Medal.
Domande e risposte
D: Che cos'è la Congettura di Poincaré?
R: La Congettura di Poincaré è una domanda sulle sfere in matematica, che prende il nome da Henri Poincaré, e che chiede se alcune proprietà della 2-sfera sono vere anche per la 3-sfera.
D: Quale proprietà ha la 2-sfera?
R: La 2-sfera ha la proprietà che qualsiasi anello su di essa può essere contratto in un punto.
D: Questa proprietà è unica per la 2-sfera?
R: Questa proprietà è unica per la 2-sfera in termini di spazi piccoli che non hanno bordi. Tuttavia, un piano infinitamente grande e un disco regolare (un cerchio e il suo interno) sono entrambi semplicemente connessi, ma hanno bordi.
D: Chi ha dimostrato che era vero per le sfere di dimensioni superiori?
R: Nel 1960, Smale ha dimostrato che era vero per le sfere a 5, 6 e superiori, e nel 1982 Freedman ha dimostrato che era vero anche per le sfere a 4 dimensioni.
D: Chi ha risolto la congettura di Poincaré?
R: La congettura di Poincaré è stata risolta da Grigori Perelman, un matematico russo che ha utilizzato i metodi della geometria per dimostrare che è effettivamente vera.
D: Quali premi ha ricevuto Perelman per il suo lavoro?
R: Perelman ha ricevuto una Medaglia Fields e un Millennium Prize da 1 milione di dollari per il suo lavoro sulla risoluzione della congettura di Poincaré; tuttavia ha rifiutato entrambi i premi.
