La radice quadrata di 2, o potenza (1/2) di 2, scritta in matematica come √2 o 21⁄2, è il numero irrazionale positivo che, se moltiplicato per se stesso, è uguale al numero 2. Per essere più corretti, si chiama radice quadrata principale di 2, per distinguerla dalla versione negativa di se stessa in cui è anche vero.

Geometricamente la radice quadrata di 2 è la lunghezza di una diagonale attraverso un quadrato con lati di lunghezza uno; questo può essere trovato con il teorema di Pitagora.

Definizione formale

√2 è il numero reale positivo x tale che x² = 2. In notazione algebrica è radice dell'equazione polinomiale x² − 2 = 0; l'altra radice è −√2. Poiché il polinomio minimo di √2 su Q è x² − 2, √2 è un numero algebrico di grado 2.

Proprietà principali

  • Irrazionalità: √2 non può essere espresso come rapporto di due interi (non è frazionario).
  • Valore approssimato: √2 ≈ 1.4142135623730951 (i decimali proseguono senza ripetizione periodica).
  • Continuazione frazionaria: la sua espansione in frazione continua è periodica e semplice: √2 = [1; 2, 2, 2, …], cioè tutti i termini dopo il primo sono 2.
  • Convergenze razionali: dai convergenti della frazione continua si ottengono buone approssimazioni razionali come 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, …
  • Radice principale: per convenzione √2 indica la radice positiva; la radice negativa è −√2.

Dimostrazione essenziale dell'irrazionalità

Una delle dimostrazioni classiche procede per assurdo. Supponiamo che √2 = p/q con p e q interi primi fra loro e q > 0. Allora p² = 2q². Da ciò p² è pari, quindi p è pari; si può scrivere p = 2k. Sostituendo, 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k², quindi q² (e q) è pari. Ma così p e q sono entrambi pari, contraddicendo l'ipotesi che siano primi fra loro. Conclusione: √2 non è razionale.

Esiste anche una dimostrazione per discesa infinita (infinite descent) attribuita all'antichità, che mostra l'impossibilità di una coppia minima p/q con p e q interi.

Metodi di calcolo

Metodi numerici semplici per avvicinarsi a √2 includono:

  • Metodo di Babilonia (o di Erone): iterazione x_{n+1} = (x_n + 2/x_n)/2. Partendo da x₀ = 1 si ottiene rapidamente 1.5, 1.416666..., 1.414215..., ecc.
  • Sviluppi in serie e algoritmi binari: usati nei calcolatori per ottenere molte cifre decimali.
  • Convergenze di frazione continua: le frazioni ottenute forniscono approssimazioni razionali molto buone; sono legate alle soluzioni dell'equazione di Pell x² − 2y² = ±1.

Significato geometrico e applicazioni

Geometricamente, come già ricordato, √2 è la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato 1. Più in generale, in un triangolo rettangolo con cateti a e b, la diagonale (ipotenusa) è √(a² + b²), e per a = b = 1 si ottiene √2.

√2 appare frequentemente in:

  • geometria (rapporti di lunghezze in figure piane),
  • trigonometria e analisi (valori di seno/coseno per angoli particolari),
  • teoria dei numeri (campi quadratici Q(√2), unità dell'anello degli interi quadratici, equazioni di Pell),
  • ingegneria e informatica (calcolo di distanze, normalizzazioni in algoritmi, formati di immagini che usano il rapporto di lato √2, come alcuni formati di carta internazionali; notare che il formato A è basato sul rapporto √2 tra lati).

Proprietà algebriche e campo Q(√2)

Il campo esteso Q(√2) è costituito da tutti i numeri della forma a + b√2 con a, b ∈ Q. L'anello degli interi di questo campo è Z[√2], e le unità di tale anello sono date da ±(1 + √2)^n per n ∈ Z. L'equazione x² − 2 = 0 è il polinomio minimale; ciò implica che √2 è un numero algebrico di grado 2.

Storia e contesto

L'esistenza di √2 e la sua irrazionalità sono note fin dall'antichità. Si racconta che la scoperta dell'irrazionalità della radice di 2 fu un risultato sorprendente per i pitagorici (V secolo a.C.); la dimostrazione della non commensurabilità fra diagonale e lato del quadrato fu uno dei primi esempi di numeri non razionali nella storia matematica.

Curiosità

  • La frazione continua periodica [1; 2, 2, 2, …] è caratteristica dei numeri quadratici quadraticamente irrazionali; √2 è uno dei casi più semplici.
  • La rappresentazione decimale di √2 non è ripetitiva e prosegue indefinitamente.
  • In informatica e tipografia il rapporto √2 è usato per mantenere la stessa proporzione tra i lati quando un foglio è piegato o diviso a metà lungo il lato più lungo (esempio: formati di carta A0, A1, A2, ...).

Se desideri, posso mostrare la dimostrazione dell'irrazionalità passo per passo con esempi numerici, mostrare altri metodi di approssimazione oppure fornire le prime n cifre decimali di √2.