Radice quadrata di 2
La radice quadrata di 2, o potenza (1/2) di 2, scritta in matematica come √2 o 21⁄2, è il numero irrazionale positivo che, se moltiplicato per se stesso, è uguale al numero 2. Per essere più corretti, si chiama radice quadrata principale di 2, per distinguerla dalla versione negativa di se stessa in cui è anche vero.
Geometricamente la radice quadrata di 2 è la lunghezza di una diagonale attraverso un quadrato con lati di lunghezza uno; questo può essere trovato con il teorema di Pitagora.
La radice quadrata di 2 è uguale alla lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo con gambe di lunghezza 1
Prova che la radice quadrata di 2 non è razionale
Il numero 2 {displaystyle {sqrt {2}}
non è razionale. Ecco la prova.
- Supponiamo che 2 {displaystyle {\sqrt {2}} sia razionale. Quindi ci sono alcuni numeri a , b {displaystyle a,b}
tali che a / b = 2 {displaystyle a/b={sqrt {2}}. 
. - Possiamo scegliere a e b in modo che a o b siano dispari. Se a e b fossero entrambi pari, allora la frazione potrebbe essere semplificata (per esempio, invece di scrivere 2 4 {displaystyle {\frac {2}{4}}}
potremmo invece scrivere 1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}
). - Se entrambi i lati dell'equazione sono al quadrato, allora otteniamo a2 / b2 = 2 e a2 = 2 b2.
- Il lato destro è 2 b 2 {displaystyle 2b^{2}}
. Questo numero è pari. Quindi anche il lato sinistro deve essere pari. Quindi a 2 {displaystyle a^{2}
è pari. Se un numero dispari viene elevato al quadrato, allora il risultato sarà un numero dispari. E se un numero pari viene elevato al quadrato, il risultato sarà anche un numero pari. Quindi a {displaystyle a}
è pari. - Poiché a è pari, può essere scritto come: a = 2 k {\displaystyle a=2k}
. - Si utilizza l'equazione del passo 3. Otteniamo 2b2 = (2k)2
- Si può usare una regola di esponenziazione (vedi l'articolo) - il risultato è 2 b 2 = 4 k 2 {displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}
. - Entrambi i lati sono divisi per 2. Quindi b 2 = 2 k 2 {displaystyle b^{2}=2k^{2}}
. Questo significa che b {displaystyle b}
è pari. - Nel passo 2, abbiamo detto che a è dispari o b è dispari. Ma nel passo 4 si è detto che a è pari, e nel passo 7 si è detto che b è pari. Se la supposizione che abbiamo fatto nel passo 1 è vera, allora tutte queste altre cose devono essere vere, ma poiché non sono d'accordo tra loro non possono essere tutte vere; ciò significa che la nostra supposizione non è vera.
Non è vero che 2 è un numero razionale. Quindi 2 è irrazionale.
