Radice quadrata di 2

La radice quadrata di 2, o potenza (1/2) di 2, scritta in matematica come √2 o 21⁄2, è il numero irrazionale positivo che, se moltiplicato per se stesso, è uguale al numero 2. Per essere più corretti, si chiama radice quadrata principale di 2, per distinguerla dalla versione negativa di se stessa in cui è anche vero.

Geometricamente la radice quadrata di 2 è la lunghezza di una diagonale attraverso un quadrato con lati di lunghezza uno; questo può essere trovato con il teorema di Pitagora.

La radice quadrata di 2 è uguale alla lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo con gambe di lunghezza 1Zoom
La radice quadrata di 2 è uguale alla lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo con gambe di lunghezza 1

Prova che la radice quadrata di 2 non è razionale

Il numero 2 {displaystyle {sqrt {2}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} non è razionale. Ecco la prova.

  1. Supponiamo che 2 {displaystyle {\sqrt {2}} {\displaystyle {\sqrt {2}}}sia razionale. Quindi ci sono alcuni numeri a , b {displaystyle a,b} {\displaystyle a,b}tali che a / b = 2 {displaystyle a/b={sqrt {2}}. {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}}.
  2. Possiamo scegliere a e b in modo che a o b siano dispari. Se a e b fossero entrambi pari, allora la frazione potrebbe essere semplificata (per esempio, invece di scrivere 2 4 {displaystyle {\frac {2}{4}}} {\displaystyle {\frac {2}{4}}}potremmo invece scrivere 1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}{\displaystyle {\frac {1}{2}}}).
  3. Se entrambi i lati dell'equazione sono al quadrato, allora otteniamo a2 / b2 = 2 e a2 = 2 b2.
  4. Il lato destro è 2 b 2 {displaystyle 2b^{2}} {\displaystyle 2b^{2}}. Questo numero è pari. Quindi anche il lato sinistro deve essere pari. Quindi a 2 {displaystyle a^{2}{\displaystyle a^{2}} è pari. Se un numero dispari viene elevato al quadrato, allora il risultato sarà un numero dispari. E se un numero pari viene elevato al quadrato, il risultato sarà anche un numero pari. Quindi a {displaystyle a}a è pari.
  5. Poiché a è pari, può essere scritto come: a = 2 k {\displaystyle a=2k}{\displaystyle a=2k} .
  6. Si utilizza l'equazione del passo 3. Otteniamo 2b2 = (2k)2
  7. Si può usare una regola di esponenziazione (vedi l'articolo) - il risultato è 2 b 2 = 4 k 2 {displaystyle 2b^{2}=4k^{2}} {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}.
  8. Entrambi i lati sono divisi per 2. Quindi b 2 = 2 k 2 {displaystyle b^{2}=2k^{2}} {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}. Questo significa che b {displaystyle b}{\displaystyle b} è pari.
  9. Nel passo 2, abbiamo detto che a è dispari o b è dispari. Ma nel passo 4 si è detto che a è pari, e nel passo 7 si è detto che b è pari. Se la supposizione che abbiamo fatto nel passo 1 è vera, allora tutte queste altre cose devono essere vere, ma poiché non sono d'accordo tra loro non possono essere tutte vere; ciò significa che la nostra supposizione non è vera.

Non è vero che 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}è un numero razionale. Quindi 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}è irrazionale.


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