Teorema di Pitagora

Una prova del teorema di Pitagora è stata trovata da un matematico greco, Eudosso di Cnido.

La prova utilizza tre lemmi:

1. I triangoli con la stessa base e la stessa altezza hanno la stessa area.
2. Un triangolo che ha la stessa base e la stessa altezza di un lato di un quadrato ha la stessa area della metà del quadrato.
3. I triangoli con due lati congruenti e un angolo congruente sono congruenti e hanno la stessa area.

La prova è:

1. Il triangolo blu ha la stessa area del triangolo verde, perché ha la stessa base e la stessa altezza (lemma 1).
2. I triangoli verde e rosso hanno entrambi due lati uguali ai lati degli stessi quadrati, e un angolo uguale ad un angolo retto (un angolo di 90 gradi) più un angolo di un triangolo, quindi sono congruenti e hanno la stessa area (lemma 3).
3. Le aree dei triangoli rossi e gialli sono uguali perché hanno le stesse altezze e le stesse basi (lemma 1).
4. L'area del triangolo blu equivale all'area del triangolo giallo, perché

A b l u e = A g r e e n = A r e d = A y e l l l o w w {blue}A_{blue}={blue}={color {green}A_{green}={color {green}={color {red}A_{red}={yellow}A_{yellow}}={giallo}

1. I triangoli marroni hanno la stessa area per le stesse ragioni.
2. Il blu e il marrone hanno ciascuno la metà della superficie di un quadrato più piccolo. La somma delle loro aree equivale alla metà dell'area del quadrato più grande. Per questo motivo, la metà delle aree dei quadrati piccoli è uguale alla metà dell'area del quadrato più grande, quindi la loro area è uguale all'area del quadrato più grande.

Prova con triangoli simili

Possiamo ottenere un'altra prova del teorema di Pitagora utilizzando triangoli simili.

d a = a c ⇒ d = a 2 c ( 1 ) {\an8}(1 ) displaystyle {\an8}(1)}(1)}(1)}(2)

e/b = b/c => e = b^2/c (2)

Dall'immagine, sappiamo che c = d + e {\i\i}- Visualizza stile c=d+e \i\i}! } . E sostituendo le equazioni (1) e (2):

c = a 2 c + b 2 c {\a^{2}}+{\frac {b^{2}}}+frac {b^{2}}{c}

Moltiplicando per c:

c 2 = a 2 + b 2 . c^{2}=a^{2}+b^{2! }

I tripli o terzine pitagoriche sono tre numeri interi che si adattano all'equazione a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}}} .

Il triangolo con lati di 3, 4 e 5 è un esempio ben noto. Se a=3 e b=4, allora 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}} perché 9 + 16 = 25 {\displaystyle 9+16=25} . Questo può anche essere mostrato come 3 2 + 4 2 = 5. {\fscx130\fscy130\frx40}=5.}}}Displaystyle {\fscx130\fscy130\frx40}3^{2}+4^{2

Il triangolo tre-quattro-cinque funziona per tutti i multipli di 3, 4 e 5. In altre parole, numeri come 6, 8, 10 o 30, 40 e 50 sono anche tripli pitagorici. Un altro esempio di triplo è il triangolo 12-5-13, perché 12 2 + 5 2 = 13 {\sqrt {12^{2}+5^{2}}}=13} .

Una tripla pitagorica che non è un multiplo di altre triple viene chiamata una primitiva tripla pitagorica. Qualsiasi tripla pitagorica primitiva può essere trovata usando l'espressione ( 2 m n , m 2 - n 2 , m 2 + n 2 ) {\an8}(2mn,m^{2}-n^{2}, m^{2}+n^{2})}. ma devono essere soddisfatte le seguenti condizioni. Esse pongono delle restrizioni sui valori di m {\displaystyle m} e n {\displaystyle n} .

1. m e n sono numeri interi positivi.
2. m m e n non hanno fattori comuni tranne l'1
3. m m e n hanno parità opposta. m m e n hanno parità opposta quando m è pari e n è dispari, oppure m è dispari e n è pari.
4. m > n {\fscx130\fscy130\frx40} .

Se tutte e quattro le condizioni sono soddisfatte, allora i valori di m {\displaystyle m} e n {\displaystyle n} creano una primitiva tripla pitagorica.

m = 2 {\displaystyle m=2} e n = 1 {\displaystyle n=1} creano un primitivo triplo pitagorico. I valori soddisfano tutte e quattro le condizioni. 2 m n = 2 × 2 × 1 = 4 {\i\i} {\i\i} 2mn=2\i\i} 2\i\i} 1=4 m 2 - n 2 = 2 2 - 1 2 = 2 2 - 1 2 = 4 - 1 = 3 {\\displaystyle m^{2}-n^{2}}=2^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3} e m 2 + n 2 = 2 2 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 {\displaystyle m^{2}+n^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5} in modo da creare il triplo ( 3 , 4 , 5 ) {\an8} (3,4,5)}.