L'esponenziazione (potenza) è un'operazione aritmetica sui numeri. Si tratta di una moltiplicazione ripetuta, così come la moltiplicazione è un'aggiunta ripetuta. Le persone scrivono l'esponenziazione con l'indice superiore. Questo assomiglia a questo: x y {\an8}{y}{y} {\displaystyle x^{y}}. In passato sono stati utilizzati altri metodi di notazione matematica. Quando si scrive con apparecchiature che non possono usare l'indice superiore, le persone scrivono i poteri usando i segni ^ o **, quindi 2^3 o 2**3 significa 2 3 {\a6}}{3}}}displaystyle 2^{3}}. {\displaystyle 2^{3}}.

Il numero x {\displaystyle x}x è chiamato base, e il numero y {\displaystyle y}y è chiamato esponente. Per esempio, in 2 3 {\displaystyle 2^{3}}} {\displaystyle 2^{3}}2 è la base e 3 è l'esponente.

Per calcolare il 2 3 {\3}{3}} {\displaystyle 2^{3}}una persona deve moltiplicare il numero 2 per se stessa 3 volte. Quindi 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\i}displaystyle 2^{3}=2 \cdot 2\cdot 2} {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2}. Il risultato è 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\proprio stile di visualizzazione 2 \cdot 2\cdot 2=8}{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} . L'equazione potrebbe essere letta ad alta voce in questo modo: 2 elevato alla potenza di 3 equivale a 8.

Esempi:

  • 5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\fscx130\fscy130\frx40}=5 \cdot {}5 \cdot {}5=125} {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125}
  • x 2 = x ⋅ x ⋅ x {\a6}=x \a6}=x \cdot {}x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x}
  • 1 x = 1 {\i}{x}=1}{\displaystyle 1^{x}=1} per ogni numero x

Se l'esponente è uguale a 2, allora la potenza è chiamata quadrata perché l'area di un quadrato è calcolata usando uno stile di visualizzazione a 2^{2}}}. {\displaystyle a^{2}}. Quindi

x 2 x^{2}{\displaystyle x^{2}} e' il quadrato di x^{2} x

Se l'esponente è uguale a 3, allora la potenza è chiamata cubo perché il volume di un cubo è calcolato usando un 3 {\displaystyle a^{3}}}}. {\displaystyle a^{3}}. Quindi

x 3 {\fscx130\fscy130\frx40}- {\displaystyle x^{3}}è il cubo di x {\fscx130\fscy130\frx40}- Il cubo di x x x

Se l'esponente è uguale a -1, la persona deve calcolare l'inverso della base. Quindi

x - 1 = 1 x {\an8}{-1}={\an8}}frac {1}{x}} {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}

Se l'esponente è un numero intero ed è inferiore a 0, la persona deve invertire il numero e calcolare la potenza. Per esempio:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\i\i}}(1 ) 3 = 1 8 {\i\i}(1)}(2)(2)(2)(2)(2)(2)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(4)(4)(4)(*) {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}

Se l'esponente è uguale a 1 2 {\frac {1}{2}}} {\displaystyle {\frac {1}{2}}}allora il risultato dell'esponenziazione è la radice quadrata della base. Quindi x 1 2 = x . x . {\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}. } {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.}Esempio:

4 1 2 = 4 = 2 {\a6}{\a6}}}={\a6}={\a6}=2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2}

Allo stesso modo, se l'esponente è 1 n n stile di visualizzazione, {\displaystyle {\frac {1}{n}}}il risultato è l'ennesima radice, quindi:

a 1 n = a n stile di visualizzazione a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[n}]{\a}} {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}

Se l'esponente e' un numero razionale, p q q frac. {\displaystyle {\frac {p}{q}}}allora il risultato è la radice qth della base innalzata alla potenza di p, quindi:

a p q = a p q {\a^{p q}}}={{{q}}sqrt[{q}]{a^{p}}}} {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}

L'esponente potrebbe anche non essere razionale. Per elevare una base a ad una potenza irrazionale xth, usiamo una sequenza infinita di numeri razionali (xi), il cui limite è x:

x = lim n → → ∞ x n {\fscx130\fscy130\frx40} x = lim n → ∞ x n {\fscx130\fscy130\frx40} x = lim n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}

in questo modo:

a x = lim n → → ∞ a x n {\fscx130\fscy130\frx40}}Stile di visualizzazione a^{x}=lim _{n\fscy \fscx130\fscy130\frx40}a^{x_{n} {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}

Ci sono alcune regole che aiutano a calcolare le potenze:

  • ( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n ⋅ b n stile di visualizzazione a sinistra (a \cdot b\code(011)^^n=a ^n ^cdot ^b ^n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}
  • ( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 displaystyle \displaystyle \frac \frac \frac \frac \frac \frac \frac \frac \frac \frac \frac \fscx130\fscy130\frx40},\fscx130\fscy130\frx40},\fscx130\fscy130\frx40}quad b\neq 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0}
  • a r ⋅ a s = a r + s {\a^{r}{r+s}=a^{r+s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}
  • a r a s = a r - s - s , a ≠ 0 -displaystyle {\an8}{a^{r}{a^{s}=a^{r-s},\quad a\neq 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0}
  • a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\a^{-n}={\a^{n},\quad a^{n} 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0}
  • ( a r ) s = a r ⋅ s \x22displaystyle \x22left(a^{r\x22destra)^^s=a^{r\x22cdot s\x22 {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}
  • a 0 = 1 {\fscx130\fscy130\frx40}Stile di visualizzazione a^{0}=1} {\displaystyle a^{0}=1}

È possibile calcolare l'esponenziazione delle matrici. La matrice deve essere quadrata. Per esempio: I 2 = I ⋅ I ⋅ I = I {\a6}=I \a6}=I \a6}=I \a6}=I \a6}{\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I}.