Esponenziazione

L'esponenziazione (potenza) è un'operazione aritmetica sui numeri. Si tratta di una moltiplicazione ripetuta, così come la moltiplicazione è un'aggiunta ripetuta. Le persone scrivono l'esponenziazione con l'indice superiore. Questo assomiglia a questo: x y {\an8}{y}{y} $x^{y}$ . In passato sono stati utilizzati altri metodi di notazione matematica. Quando si scrive con apparecchiature che non possono usare l'indice superiore, le persone scrivono i poteri usando i segni ^ o **, quindi 2^3 o 2**3 significa 2 3 {\a6}}{3}}}displaystyle 2^{3}}. $2^{3}$ .

Il numero x {\displaystyle x} è chiamato base, e il numero y {\displaystyle y} è chiamato esponente. Per esempio, in 2 3 {\displaystyle 2^{3}}} $2^{3}$ 2 è la base e 3 è l'esponente.

Per calcolare il 2 3 {\3}{3}} $2^{3}$ una persona deve moltiplicare il numero 2 per se stessa 3 volte. Quindi 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\i}displaystyle 2^{3}=2 \cdot 2\cdot 2} $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . Il risultato è 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\proprio stile di visualizzazione 2 \cdot 2\cdot 2=8} $2\cdot 2\cdot 2=8$ . L'equazione potrebbe essere letta ad alta voce in questo modo: 2 elevato alla potenza di 3 equivale a 8.

Esempi:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\fscx130\fscy130\frx40}=5 \cdot {}5 \cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x ⋅ x {\a6}=x \a6}=x \cdot {}x $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\i}{x}=1} $1^{x}=1$ per ogni numero x

Se l'esponente è uguale a 2, allora la potenza è chiamata quadrata perché l'area di un quadrato è calcolata usando uno stile di visualizzazione a 2^{2}}}. $a^{2}$ . Quindi

x 2 x^{2} $x^{2}$ e' il quadrato di x^{2}

Se l'esponente è uguale a 3, allora la potenza è chiamata cubo perché il volume di un cubo è calcolato usando un 3 {\displaystyle a^{3}}}}. $a^{3}$ . Quindi

x 3 {\fscx130\fscy130\frx40}- $x^{3}$ è il cubo di x {\fscx130\fscy130\frx40}- Il cubo di x x

Se l'esponente è uguale a -1, la persona deve calcolare l'inverso della base. Quindi

x - 1 = 1 x {\an8}{-1}={\an8}}frac {1}{x}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Se l'esponente è un numero intero ed è inferiore a 0, la persona deve invertire il numero e calcolare la potenza. Per esempio:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\i\i}}(1 ) 3 = 1 8 {\i\i}(1)}(2)(2)(2)(2)(2)(2)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(4)(4)(4)(*) $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Se l'esponente è uguale a 1 2 {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ allora il risultato dell'esponenziazione è la radice quadrata della base. Quindi x 1 2 = x . x . {\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}. } $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Esempio:

4 1 2 = 4 = 2 {\a6}{\a6}}}={\a6}={\a6}=2 $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Allo stesso modo, se l'esponente è 1 n n stile di visualizzazione, ${\frac {1}{n}}$ il risultato è l'ennesima radice, quindi:

a 1 n = a n stile di visualizzazione a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[n}]{\a}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Se l'esponente e' un numero razionale, p q q frac. ${\frac {p}{q}}$ allora il risultato è la radice qth della base innalzata alla potenza di p, quindi:

a p q = a p q {\a^{p q}}}={{{q}}sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

L'esponente potrebbe anche non essere razionale. Per elevare una base a ad una potenza irrazionale xth, usiamo una sequenza infinita di numeri razionali (xi), il cui limite è x:

x = lim n → → ∞ x n {\fscx130\fscy130\frx40} x = lim n → ∞ x n {\fscx130\fscy130\frx40} x = lim n $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

in questo modo:

a x = lim n → → ∞ a x n {\fscx130\fscy130\frx40}}Stile di visualizzazione a^{x}=lim _{n\fscy \fscx130\fscy130\frx40}a^{x_{n} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Ci sono alcune regole che aiutano a calcolare le potenze:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n ⋅ b n stile di visualizzazione a sinistra (a \cdot b\code(011)^^n=a ^n ^cdot ^b ^n $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 displaystyle \displaystyle \frac \frac \frac \frac \frac \frac \frac \frac \frac \frac \frac \fscx130\fscy130\frx40},\fscx130\fscy130\frx40},\fscx130\fscy130\frx40}quad b\neq 0 $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\a^{r}{r+s}=a^{r+s $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s - s , a ≠ 0 -displaystyle {\an8}{a^{r}{a^{s}=a^{r-s},\quad a\neq 0 ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\a^{-n}={\a^{n},\quad a^{n} 0 $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s \x22displaystyle \x22left(a^{r\x22destra)^^s=a^{r\x22cdot s\x22 $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\fscx130\fscy130\frx40}Stile di visualizzazione a^{0}=1} $a^{0}=1$

È possibile calcolare l'esponenziazione delle matrici. La matrice deve essere quadrata. Per esempio: I 2 = I ⋅ I ⋅ I = I {\a6}=I \a6}=I \a6}=I \a6}=I \a6} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Commutatività

Sia l'addizione che la moltiplicazione sono commutative. Per esempio, 2+3 è uguale a 3+2; e 2 - 3 è uguale a 3 - 2. Sebbene l'esponenziazione sia una moltiplicazione ripetuta, non è commutativa. Per esempio, 2³=8 ma 3²=9.

Operazioni inverse

L'addizione ha una sola operazione inversa: la sottrazione. Inoltre, la moltiplicazione ha un'operazione inversa: divisione.

Ma l'esponenziazione ha due operazioni inverse: La radice e il logaritmo. Questo è il caso perché l'esponenziazione non è commutativa. Lo si può vedere in questo esempio:

Se avete x+2=3, allora potete usare la sottrazione per scoprire che x=3-2. Questo è lo stesso se si ha 2+x=3: si ottiene anche x=3-2. Questo perché x+2 è lo stesso di 2+x.
Se si dispone di x - 2=3, allora si può usare la divisione per scoprire che x=3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}} {\frac ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Questo è lo stesso se si ha 2 - x=3: si ottiene anche x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}}}. ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Questo perché x - 2 è uguale a 2 - x
Se avete x²=3, allora usate la radice (quadrata) per scoprire x: Si ottiene il risultato x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{\3}}}}}}}}. ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Tuttavia, se avete 2x=3, non potete usare la radice per scoprire x. Piuttosto, dovete usare il logaritmo (binario) per scoprire x: Si ottiene il risultato x=log2(3).

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Esponente

Domande e risposte

D: Che cos'è l'esponenziazione?

R: L'esponenziazione è un'operazione aritmetica sui numeri che può essere considerata come una moltiplicazione ripetuta.

D: Come si scrive l'esponenziazione?

R: L'esponenziazione viene solitamente scritta come x^y, dove x è la base e y è l'esponente. Può anche essere scritta utilizzando i segni ^ o **, come ad esempio 2^4 o 2**4.

D: Quali sono alcuni esempi di esponenziazione?

R: Tra gli esempi di esponenziazione ci sono 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 per ogni numero x; e 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

D: Cosa significa quando l'esponente è uguale a -1?

R: Quando l'esponente è uguale a -1, la potenza è semplicemente il reciproco della base (x^(-1) = 1/x).

D: Come si calcola una potenza irrazionale di una base?

R: Per elevare una base a a una potenza irrazionale x, utilizziamo una sequenza infinita di numeri razionali (xn), il cui limite è x (a^x = lim n->infinito a^(x_n)).

D: Esistono regole che facilitano il calcolo degli esponenti?

R: Sì, ci sono diverse regole che facilitano il calcolo degli esponenti. Queste includono (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); e così via.