Argomento diagonale di Cantor

L'esempio che segue utilizza due degli insiemi infiniti più semplici, quello dei numeri naturali e quello delle frazioni positive. L'idea è di mostrare che entrambi questi insiemi, N {displaystyle \mathbb {N} e Q+ hanno la stessa cardinalità. hanno la stessa cardinalità.

In primo luogo, le frazioni sono allineate in una matrice, come segue:

1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 ⋯ 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 ⋯ 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 ⋯ 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 ⋯ 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccc}{{tfrac {1}}}&e il suo nome e il suo numero di telefono sono stati modificati.&{tfrac {1}{5}}&cdots \&&&&&&&& {\tfrac {2}}&&&tfrac {2}{2}}&&{\tfrac {2}3}&&&&tfrac {2}4}&&&&tfrac {2}5}&cdots \&&&&&&&&{\tfrac {3}{\tfrac {\tfrac {\tfrac {\tfrac {\tfrac {\tfrac {\tfrac}1}&&&&&&&\punti \&&&&&&&& \tfrac {5}{1}}&&{tfrac {5}{2}&&{tfrac {5}{3}}&&{\frac {5}{5}{4}}&&{tfrac {5}{5}{5}{5}{5}{5}{5}{5}{5}{5}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}{6}

Poi si contano i numeri, come mostrato. Le frazioni che possono essere semplificate vengono lasciate fuori:

1 1   ( 1 ) → 1 2   ( 2 ) 1 3   ( 5 ) → 1 4   ( 6 ) 1 5   ( 11 ) → ↙  ↙  2 1   ( 3 ) 2 2   ( ⋅ ) 2 3   ( 7 ) 2 4   ( ⋅ ) 2 5 ⋯ ↓  ↙  3 1   ( 4 ) 3 2   ( 8 ) 3 3   ( ⋅ ) 3 4 3 5 ⋯ ↙ 4 1 ( 9 ) 4 2 ( ⋅ ) 4 3 4 4 5 ⋯ ↓ 5 1 ( 10 ) 5 2 5 3 5 4 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {displaystyle {{begin{array}{lclclclclclc}{tfrac {1}{1}}{{colorazione {Blu}(1)}&{\an8}diritto al colore blu notte {\an8} e il colore blu (2)}&tfrac {1}2}} e il colore blu (5){\an8}{\an8}(6){\an8}}e il colore blu (6) {\an8}e il colore blu (11) {\an8}(11){\an8}Colore blu notte, freccia destra {\an8} e colore blu notte, freccia destra {\an8} e colore blu notte {\an8}.{\an8}Colorazione blu notte {\an8}salvietta {\an8}e {\an8}colore blu notte {\an8}salvietta {\an8}.e il colore blu (7) è un punto di riferimento per l'intera famiglia.&&&& {\an8}Colore blu notte, freccia verso il basso, colore blu notte, freccia verso il basso, colore blu notte, &&&& {\an8}Colore blu notte, freccia verso il basso, colore blu notte, &&&&{\an8}(\an8}) e i puntini di sospensione sono stati realizzati con il colore blu notte e con il colore blu notte e con la freccia. &&&&&&{\frac {4}1}}{{{{4}1}}}{colorazione blu(9)}{4}{4}{2}{colorazione blu(\cdot )}{4}{4}{4}{3}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{4}{\frac {4}{4}{4}{4}{4}{5}{5}{punti}{colore{MidnightBlue}{downarrow}{color{MidnightBlue}{&&&&

In questo modo, le frazioni sono contate:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 1 2 2 2 3 1 3 1 4 2 3 3 2 4 5 1 5 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccccccccccccccccccc{{{colorazione blu}1}&2... 3... 4... 4... 4... 5... 5...{\an8}{colorazione blu}6}{colorazione blu}7}{colorazione blu}8}{colorazione blu}9}{colorazione blu}10}{colorazione blu}11}&{\an8}Colore blu a pois}[3pt]{MidnightBlue{\an8}downarrow{\an8}&color {MidnightBlue{\an8}{\an8}Colorazione blu notte}downdownarrow {{\an8} e colore blu notte}downarrow {\an8}{\an8}{\an8}Colorazione blu notte}downarrow {{\an8}Colorazione blu notte}downarrow {\an8}{\an8}Colorazione blu notte {\an8}downarrow {\an8}{\an8}1&&tfrac {1}{2}{2&3}

Omettendo le frazioni che possono ancora essere semplificate, c'è una biiezione che associa ogni elemento dei numeri naturali a un elemento delle frazioni:

Per dimostrare che tutti i numeri naturali e le frazioni hanno la stessa cardinalità, bisogna aggiungere l'elemento 0; dopo ogni frazione si aggiunge il suo negativo;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 - 1 1 2 - 1 2 - 2 2 - 2 3 - 3 1 3 - 1 3 1 4 - 1 4 2 3 - 2 3 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{{cccccccccccccccccccccccccc}{{colorazione blu}1}&{\an8}(1).{\an8}&colore {Blu}8}&colore {Blu}9}&colore {Blu}10}&colore {Blu}11}&colore {Blu}12}&colore {Blu}13}&colore {Blu}14}&colore {Blu}15}&{\a6}[3pt]{\a6}Colore {Blu{\a6}Blu{\a6}}}Colore {MidnightBlue{\a6}downarrow{\a6}&{\a6}Colore {MidnightBlue{\a6}downarrow{\a6}{\a6}{\an8}Colore di mezzanotte blu {\an8}downarrow {\an8} e colore di mezzanotte blu {\an8}downarrow {\an8} e colore di mezzanotte blu {\an8}downarrow {\an8} e colore di mezzanotte blu {\an8}downarrow {\an8}.{\an8}Colore {MidnightBlue}downarrow {{MidnightBlue}downarrow {{MidnightBlue}{MidnightBlue}{MidnightBlue}{MidnightBlue}{MidnightBlue}{MidnightBlue}{MidnightBlue}{MidnightBlue}{MidnightBlue}{MidnightBlue}{MidnightBlue}{MidnightBlue}{MidnightBlue}{MidnightBlue}{MidnightBlue }0&1&-1&{{tfrac {1}{2}}&-{tfrac {1}{2}{2}{2}2&-2&3&-3&{{tfrac {1}{3}}&-{tfrac {1}{3}}&{tfrac {1}{4}}&-{tfrac {1}{4}}&{tfrac {2}{3}}&-{tfrac {2}{3}}{cdots \end{array}}

In questo modo, c'è una biiezione completa, che associa una frazione ad ogni numero naturale. In altre parole: entrambi gli insiemi hanno la stessa cardinalità. Oggi, gli insiemi che hanno lo stesso numero di elementi dell'insieme dei numeri naturali sono detti numerabili. Gli insiemi che hanno meno elementi dell'insieme dei numeri naturali sono detti al massimo contabili. Con questa definizione, l'insieme dei numeri razionali / frazioni è numerabile.

Gli insiemi infiniti hanno spesso proprietà che vanno contro l'intuizione: David Hilbert lo ha mostrato in un esperimento che si chiama il paradosso di Hilbert del Grand Hotel.

L'insieme dei numeri reali non ha la stessa cardinalità di quello dei numeri naturali; ci sono più numeri reali che numeri naturali. L'idea delineata sopra ha influenzato la sua dimostrazione. Nel suo articolo del 1891, Cantor considerò l'insieme T di tutte le sequenze infinite di cifre binarie (cioè ogni cifra è zero o uno).

Inizia con una prova costruttiva del seguente teorema:

Se s1, s2, ... , _sn, ... è una qualsiasi enumerazione di elementi di T, allora c'è sempre un elemento s di T che non corrisponde a nessun _sn nell'enumerazione.

Per dimostrarlo, data un'enumerazione di elementi di T, come ad esempio

La sequenza s è costruita scegliendo la 1° cifra come complementare alla 1° cifra di s1 (scambiando gli 0 con gli 1 e viceversa), la 2° cifra come complementare alla 2° cifra di s2, la 3° cifra come complementare alla 3° cifra di s3, e generalmente per ogni n, la n° cifra come complementare alla n° cifra di _sn. Nell'esempio, questo produce:

Per costruzione, s differisce da ogni _sn, poiché le loro ennesime cifre differiscono (evidenziate nell'esempio). Di conseguenza, s non può presentarsi nell'enumerazione.

Sulla base di questo teorema, Cantor usa poi una prova per contraddizione per dimostrare che:

L'insieme T è uncountable.

Assume per contraddizione che T fosse contatore. In tal caso, tutti i suoi elementi potrebbero essere scritti come un'enumerazione s1, s2, ... , _sn, ... . Applicando il teorema precedente a questa enumerazione si otterrebbe una sequenza s non appartenente all'enumerazione. Tuttavia, s era un elemento di T e quindi dovrebbe essere nell'enumerazione. Questo contraddice l'ipotesi originale, quindi T deve essere non numerabile.