Funzione biiettiva
In matematica, una funzione biiettiva o biiezione è una funzione f : A → B che è sia un'iniezione che una suriezione. Ciò significa che per ogni elemento b nel codominio B c'è esattamente un elemento a nel dominio A tale che f(a)=b. Un altro nome per la biiezione è corrispondenza 1-1.
Il termine biiezione e i termini correlati suriezione e iniezione sono stati introdotti da Nicholas Bourbaki. Negli anni '30, lui e un gruppo di altri matematici pubblicarono una serie di libri sulla matematica moderna avanzata.
Proprietà di base
Formalmente:
f : A → B {displaystyle f:A\rightarrow B}
è una funzione biettiva se ∀ b ∈ B {displaystyle \per tutti i b\in B} 
c'è un unico a ∈ A {displaystyle a\in A} tale che 
f ( a ) = b . {displaystyle f(a)=b,. } 
L'elemento b {displaystyle b}
è detto immagine dell'elemento a {displaystyle a}
.
- La definizione formale significa: Ogni elemento del codominio B è l'immagine di esattamente un elemento del dominio A.
L'elemento a {displaystyle a} è detto una pre-immagine dell'elemento b {displaystyle b} .
- La definizione formale significa: Ogni elemento del codominio B ha esattamente una pre-immagine nel dominio A.
Nota: Suriezione significa minimo una preimmagine. Iniezione significa massimo una preimmagine. Quindi la biiezione significa esattamente una pre-immagine.
Cardinalità
La cardinalità è il numero di elementi di un insieme. La cardinalità di A={X,Y,Z,W} è 4. Scriviamo #A=4.
- Definizione: Due insiemi A e B hanno la stessa cardinalità se esiste una biiezione tra gli insiemi. Quindi #A=#B significa che c'è una biiezione da A a B.
Biiezioni e funzioni inverse
- Le biiezioni sono invertibili invertendo le frecce. La nuova funzione è chiamata funzione inversa.
Formalmente: Sia f : A → B una biiezione. La funzione inversa g : B → A è definita da se f(a)=b, allora g(b)=a. (Vedi anche Funzione inversa).
- La funzione inversa della funzione inversa è la funzione originale.
- Una funzione ha una funzione inversa se e solo se è una biiezione.
Nota: la notazione per la funzione inversa di f è confusa. Vale a dire,
f - 1 ( x ) {displaystyle f^{-1}(x)}
funzione f, ma x - 1 = 1 x {displaystyle x^{-1}={frac {1}{x}}}
indica il valore reciproco del numero x.
Esempi
Funzioni elementari
Sia f(x):ℝ→ℝ una funzione reale y=f(x) di un argomento reale x. (Ciò significa che sia l'input che l'output sono numeri).
- Significato grafico: La funzione f è una biiezione se ogni linea orizzontale interseca il grafico di f esattamente in un punto.
- Significato algebrico: La funzione f è una biiezione se per ogni numero reale yo possiamo trovare almeno un numero reale xo tale che yo=f(xo) e se f(xo)=f(x1) significa xo=x1 .
Dimostrare che una funzione è una biiezione significa dimostrare che è sia una suriezione che un'iniezione. Quindi le prove formali sono raramente facili. Di seguito discutiamo e non dimostriamo. (Vedi suriezione e iniezione).
Esempio: La funzione lineare di una linea inclinata è una biiezione. Cioè, y=ax+b dove a≠0 è una biiezione.
Discussione: Ogni linea orizzontale interseca una linea obliqua esattamente in un punto (vedi suriezione e iniezione per le prove). Immagine 1.
Esempio: La funzione polinomiale di terzo grado: f(x)=x3 è una biiezione. Immagine 2 e immagine 5 curva gialla sottile. La sua inversa è la funzione radice cubica f(x)= ∛x ed è anche una biiezione f(x):ℝ→ℝ. Immagine 5: curva verde spessa.
Esempio: La funzione quadratica f(x) = x2 non è una biiezione (da ℝ→ℝ). Immagine 3. Non è una suriezione. Non è un'iniezione. Tuttavia, possiamo restringere sia il suo dominio che il suo codominio all'insieme dei numeri non negativi (0,+∞) per ottenere una biiezione (invertibile) (vedi esempi sotto).
Nota: quest'ultimo esempio lo dimostra. Per determinare se una funzione è una biiezione dobbiamo sapere tre cose:
- il dominio
- la macchina delle funzioni
- il codominio
Esempio: Supponiamo che la nostra funzione macchina sia f(x)=x².
- Questa macchina e dominio=ℝ e codominio=ℝ non è una suriezione e non è un'iniezione. Tuttavia,
- questa stessa macchina e dominio=[0,+∞) e codominio=[0,+∞) è sia una suriezione che un'iniezione e quindi una biiezione.
Le biiezioni e i loro inversi
Sia f(x):A→B dove A e B sono sottoinsiemi di ℝ.
- Supponiamo che f non sia una biiezione. Per ogni x in cui la derivata di f esiste e non è zero, c'è un quartiere di x in cui possiamo restringere il dominio e il codominio di f per essere una bisezione.
- I grafici delle funzioni inverse sono simmetrici rispetto alla retta y=x. (Vedi anche Funzione inversa).
Esempio: La funzione quadratica definita sul dominio ristretto e codominio [0,+∞)
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+ \infty )\,\rightarrow \,\,[0,+ \infty )} definito da 
f ( x ) = x 2 {displaystyle f(x)=x^{2} 
è una biiezione. Immagine 6: curva gialla sottile.
Esempio: La funzione radice quadrata definita sul dominio ristretto e codominio [0,+∞)
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+ \infty )\,\rightarrow \,\,[0,+ \infty )} definito da f ( x ) = x {displaystyle f(x)={\sqrt {x}} 
è la biiezione definita come funzione inversa della funzione quadratica: x2. Immagine 6: curva verde spessa.
Esempio: La funzione esponenziale definita sul dominio ℝ e il codominio ristretto (0,+∞)
f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \\,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )} definito da
f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x},\,\,\,a>1} 
è una biiezione. Immagine 4: curva gialla sottile (a=10).
Esempio: La funzione logaritmica base a definita sul dominio ristretto (0,+∞) e il codominio ℝ
f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\mathbf {R} } definito da
f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,\,\,\,a>1} 
è la biiezione definita come funzione inversa della funzione esponenziale: ax. Immagine 4: curva verde spessa (a=10).
| Biiezione: ogni linea verticale (nel dominio) e ogni linea orizzontale (nel codominio) interseca esattamente un punto del grafico. | ||
|
1. Biiezione. Tutte le linee oblique sono biiezioni f(x):ℝ→ℝ. |
2. Biiezione. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³. |
3. Non è una biiezione. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² non è una suriezione. Non è un'iniezione. |
|
4. Biiezioni. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (giallo sottile) e il suo inverso f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10x (verde spesso). |
5. Biiezioni. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (giallo sottile) e il suo inverso f(x)=∛x (verde spesso). |
6. Biiezioni. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (giallo sottile) e il suo inverso f(x)=√x (verde spesso). |
Pagine correlate
- Funzione (matematica)
- Funzione surgiettiva
- Funzione iniettiva
- Funzione inversa
Domande e risposte
D: Che cos'è una funzione biiettiva?
R: Una funzione biiettiva, nota anche come biiezione, è una funzione matematica che è sia un'iniezione che una suriezione.
D: Cosa significa che una funzione è un'iniezione?
R: Un'iniezione significa che per due qualsiasi elementi a e a' nel dominio A, se f(a)=f(a'), allora a=a'.
D: Cosa significa che una funzione è una suriezione?
R: Una suriezione significa che per ogni elemento b nel codominio B, esiste almeno un elemento a nel dominio A tale che f(a)=b.
D: Qual è l'enunciato equivalente di una biiezione?
R: L'affermazione equivalente per una biiezione è che per ogni elemento b nel codominio B, esiste esattamente un elemento a nel dominio A tale che f(a)=b.
D: Qual è un altro nome per la biiezione?
R: La biiezione è nota anche come "corrispondenza 1-1" o "corrispondenza uno-a-uno".
D: Chi ha introdotto i termini biiezione, suriezione e iniezione?
R: I termini biiezione, suriezione e iniezione sono stati introdotti da Nicolas Bourbaki e da un gruppo di altri matematici negli anni Trenta.
D: Cosa pubblicarono Bourbaki e altri matematici negli anni '30?
R: Bourbaki e altri matematici pubblicarono una serie di libri sulla matematica moderna avanzata.
