Funzioni elementari
Sia f(x):ℝ→ℝ una funzione reale y=f(x) di un argomento reale x. (Ciò significa che sia l'input che l'output sono numeri).
- Significato grafico: La funzione f è una biiezione se ogni linea orizzontale interseca il grafico di f esattamente in un punto.
- Significato algebrico: La funzione f è una biiezione se per ogni numero reale yo possiamo trovare almeno un numero reale xo tale che yo=f(xo) e se f(xo)=f(x1) significa xo=x1 .
Dimostrare che una funzione è una biiezione significa dimostrare che è sia una suriezione che un'iniezione. Quindi le prove formali sono raramente facili. Di seguito discutiamo e non dimostriamo. (Vedi suriezione e iniezione).
Esempio: La funzione lineare di una linea inclinata è una biiezione. Cioè, y=ax+b dove a≠0 è una biiezione.
Discussione: Ogni linea orizzontale interseca una linea obliqua esattamente in un punto (vedi suriezione e iniezione per le prove). Immagine 1.
Esempio: La funzione polinomiale di terzo grado: f(x)=x3 è una biiezione. Immagine 2 e immagine 5 curva gialla sottile. La sua inversa è la funzione radice cubica f(x)= ∛x ed è anche una biiezione f(x):ℝ→ℝ. Immagine 5: curva verde spessa.
Esempio: La funzione quadratica f(x) = x2 non è una biiezione (da ℝ→ℝ). Immagine 3. Non è una suriezione. Non è un'iniezione. Tuttavia, possiamo restringere sia il suo dominio che il suo codominio all'insieme dei numeri non negativi (0,+∞) per ottenere una biiezione (invertibile) (vedi esempi sotto).
Nota: quest'ultimo esempio lo dimostra. Per determinare se una funzione è una biiezione dobbiamo sapere tre cose:
- il dominio
- la macchina delle funzioni
- il codominio
Esempio: Supponiamo che la nostra funzione macchina sia f(x)=x².
- Questa macchina e dominio=ℝ e codominio=ℝ non è una suriezione e non è un'iniezione. Tuttavia,
- questa stessa macchina e dominio=[0,+∞) e codominio=[0,+∞) è sia una suriezione che un'iniezione e quindi una biiezione.
Le biiezioni e i loro inversi
Sia f(x):A→B dove A e B sono sottoinsiemi di ℝ.
- Supponiamo che f non sia una biiezione. Per ogni x in cui la derivata di f esiste e non è zero, c'è un quartiere di x in cui possiamo restringere il dominio e il codominio di f per essere una bisezione.
- I grafici delle funzioni inverse sono simmetrici rispetto alla retta y=x. (Vedi anche Funzione inversa).
Esempio: La funzione quadratica definita sul dominio ristretto e codominio [0,+∞)
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+ \infty )\,\rightarrow \,\,[0,+ \infty )} definito da 
f ( x ) = x 2 {displaystyle f(x)=x^{2} 
è una biiezione. Immagine 6: curva gialla sottile.
Esempio: La funzione radice quadrata definita sul dominio ristretto e codominio [0,+∞)
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+ \infty )\,\rightarrow \,\,[0,+ \infty )} definito da f ( x ) = x {displaystyle f(x)={\sqrt {x}} 
è la biiezione definita come funzione inversa della funzione quadratica: x2. Immagine 6: curva verde spessa.
f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \\,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )} definito da
f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x},\,\,\,a>1} 
è una biiezione. Immagine 4: curva gialla sottile (a=10).
Esempio: La funzione logaritmica base a definita sul dominio ristretto (0,+∞) e il codominio ℝ
f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\mathbf {R} } definito da
f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,\,\,\,a>1} 
è la biiezione definita come funzione inversa della funzione esponenziale: ax. Immagine 4: curva verde spessa (a=10).
| Biiezione: ogni linea verticale (nel dominio) e ogni linea orizzontale (nel codominio) interseca esattamente un punto del grafico. |
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1. Biiezione. Tutte le linee oblique sono biiezioni f(x):ℝ→ℝ. | 
2. Biiezione. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³. | 
3. Non è una biiezione. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² non è una suriezione. Non è un'iniezione. |
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4. Biiezioni. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (giallo sottile) e il suo inverso f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10x (verde spesso). | 
5. Biiezioni. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (giallo sottile) e il suo inverso f(x)=∛x (verde spesso). | 
6. Biiezioni. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (giallo sottile) e il suo inverso f(x)=√x (verde spesso). |
