Una derivazione della legge sui gas combinati che utilizza solo l'algebra elementare può riservare sorprese. Ad esempio, partendo dalle tre leggi empiriche
P = k V T=k_{V}, T=k_{V},\x22! } 
(1) Legge di Gay-Lussac, volume assunto costante
V = k P P T {\an8}Displaystyle V=k_{P}T,\an8}! } 
(2) Legge di Carlo, la pressione assunta costante
P V = k T {\an8}(P V = k T = k_{T},\an8}! } 
(3) Legge di Boyle, temperatura assunta costante
dove kV, kP e kT sono le costanti, si possono moltiplicare le tre insieme per ottenere
P V V P V = k V T k T T T T T T {\a6}VPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{Tk_T! } 
Prendendo la radice quadrata di entrambi i lati e dividendo per T sembra produrre il risultato desiderato
P V V T = k P k V k V k T {\an8}P V V T = P K K V K K T = P V V V K T } 
Tuttavia, se prima di applicare la procedura di cui sopra, ci si limita a riordinare i termini della Legge di Boyle, kT = PV, poi, dopo aver cancellato e riordinato, si ottiene
k T k V k P = T 2 -displaystyle {k_{\an8} {k_{T}}{k_{V}k_{P}=T^{2,}! } 
il che non è molto utile, se non fuorviante.
Una derivazione fisica, più lunga ma più affidabile, inizia con la consapevolezza che il parametro del volume costante nella legge di Gay-Lussac cambierà al variare del volume del sistema. A volume costante, V1 la legge potrebbe apparire P = k1T, mentre a volume costante V2 potrebbe apparire P = k2T. Indicando questo "volume costante variabile" con kV(V), riscrivere la legge come
P = k V ( V ) T {\a6}(V)\a6}(V)\a6}(V)\a6}(V)\a6}(V)\a6}(V)\a6}(V)! } 
(4)
La stessa considerazione vale per la costante della legge di Carlo, che può essere riscritta
V = k P ( P ) T {\a6}(P)\a6}(P)\a6}(P)\a6}(P)\a6}(P)\a6}(P)\a6}(P)\a6}(P) } 
(5)
Nel cercare di trovare kV(V), non si dovrebbe eliminare sconsideratamente T tra (4) e (5), poiché P varia nel primo, mentre nel secondo si assume che sia costante. Piuttosto, si dovrebbe prima determinare in che senso queste equazioni sono compatibili tra loro. Per avere un'idea di questo, ricordate che due variabili qualsiasi determinano la terza. Scegliendo P e V per essere indipendenti, immaginiamo i valori T che formano una superficie sopra il piano fotovoltaico. Una definita V0 e P0 definiscono una T0, un punto su quella superficie. Sostituendo questi valori in (4) e (5), e riorganizzando i rendimenti
T 0 = P 0 k V ( V 0 ) e T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\a6}}{\a6}}{k_{V}(V_{0})}}{k_{V}(V_{0})}}{k_{P}(P_{0})}}}{k_{P}(P_{0})}}{k_{P}(P_{0}) 
Poiché entrambe descrivono ciò che accade nello stesso punto della superficie, le due espressioni numeriche possono essere equiparate e riarrangiate
k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\a6}(V_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}={{frac {P_{0}}, \a6}! } 
(6)
Si noti che 1/kV(V0) e 1/kP(P0) sono le pendenze delle linee ortogonali parallele all'asse P/V e passanti per quel punto sulla superficie sopra il piano fotovoltaico. Il rapporto delle pendenze di queste due linee dipende solo dal valore di P0/V0 in quel punto.
Si noti che la forma funzionale di (6) non dipendeva dal particolare punto scelto. La stessa formula sarebbe nata per qualsiasi altra combinazione di valori P e V. Pertanto, si può scrivere
k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\an8}(V)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(V) 
(7)
Questo dice che ogni punto della superficie ha una propria coppia di linee ortogonali che lo attraversano, con il loro rapporto di pendenza che dipende solo da quel punto. Mentre la (6) è una relazione tra specifiche pendenze e valori variabili, la (7) è una relazione tra funzioni di pendenza e variabili di funzione. Essa vale per qualsiasi punto della superficie, cioè per qualsiasi e tutte le combinazioni di valori P e V. Per risolvere questa equazione per la funzione kV(V), separare prima le variabili, V a sinistra e P a destra.
V k V ( V ) = P k P ( P ) {\a6}(V)=P 
Scegliere qualsiasi pressione P1. Il lato destro valuta a qualche valore arbitrario, chiamatelo karb.
V k V ( V ) = k arb {\an8}(V ) = k arb {\an8}(V) = k_{V{V}(V)=k__text{arb},\an8}! } 
(8)
Questa particolare equazione deve ora essere vera, non solo per un valore di V, ma per tutti i valori di V. L'unica definizione di kV(V) che garantisce questo per tutti i V e i karb arbitrari è
k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_text{arb}}}{V 
(9)
che può essere verificato mediante sostituzione al punto (8).
Infine, la sostituzione (9) nella legge di Gay-Lussac (4) e il riordino produce la legge combinata dei gas
P V T = k arb {\an8}PV = k arb {\an8}=k_text{\an8}arb!{\an8} } 
Si noti che, sebbene la legge di Boyle non sia stata utilizzata in questa derivazione, è facilmente deducibile dal risultato. Generalmente, due delle tre leggi di partenza sono tutto ciò che è necessario in questo tipo di derivazione - tutte le coppie di partenza portano alla stessa legge combinata del gas.
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{[21875-17831]}]
La legge combinata dei gas può essere usata per spiegare la meccanica in cui pressione, temperatura e volume sono influenzati. Per esempio: condizionatori d'aria, frigoriferi e la formazione di nuvole e anche l'uso nella meccanica dei fluidi e nella termodinamica.
