Legge sul gas combinato

La legge sui gas combinati è una formula sui gasideali. Essa deriva dall'unione di tre diverse leggi sulla pressione, il volume e la temperatura del gas. Esse spiegano cosa succede a due dei valori di quel gas, mentre la terza rimane invariata. Le tre leggi sono:

La legge di Carlo, che dice che il volume e la temperatura sono direttamente proporzionali l'uno all'altro fintanto che la pressione rimane la stessa.
La legge di Boyle dice che pressione e volume sono inversamente proporzionali l'uno all'altro alla stessa temperatura.
La legge di Gay-Lussac dice che la temperatura e la pressione sono direttamente proporzionali, purché il volume rimanga invariato.

La legge sul gas combinato mostra come le tre variabili siano in relazione tra loro. Dice così:

La formula della legge sui gas combinati è:

P V T = k {\an8}(P V T = k) \qquad {\an8}(PV}{T}}=k $\qquad {\frac {PV}{T}}=k$

dove:

$P$ è la pressione

$V$ è il volume

$T$ è la temperatura misurata in kelvin

$k$ è una costante (con unità di energia divisa per la temperatura).

Per confrontare lo stesso gas con due di questi casi, la legge può essere scritta come:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2 {\a6}}{T_{1}V_{1}}}}={\a6}Frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}}} $\qquad {\frac {P_{1}V_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}}$

Aggiungendo la legge di Avogadro alla legge sul gas combinato, otteniamo quella che viene chiamata la legge del gas ideale.

Derivazione dalle leggi sul gas

La legge di Boyle afferma che il prodotto a volume di pressione è costante:

P V = k 1 ( 1 ) {\an8}(1) {\an8}(1)}(1) $PV=k_{1}\qquad (1)$

La legge di Carlo mostra che il volume è proporzionale alla temperatura assoluta:

V T = k 2 ( 2 ) {\frac {V}{T}}}=k_{2}\qquad (2) ${\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)$

La legge di Gay-Lussac dice che la pressione è proporzionale alla temperatura assoluta:

P = k 3 T ( 3 ) {\a6}P=k_{3}T\qquad (3)}}P = k 3 T ( 3 ) {\a6}P=k_{3}T\qquad (3)}P = k 3 T ( 3 ) $P=k_{3}T\qquad (3)$

dove P è la pressione, V il volume e T la temperatura assoluta di un gas ideale.

Combinando la (1) e una delle due (2) o (3), possiamo ottenere una nuova equazione con P, V e T. Se dividiamo l'equazione (1) per la temperatura e moltiplichiamo l'equazione (2) per la pressione otterremo:

P V T = k 1 ( T ) T {\a6}}={{frac {PV}{T}={frac {k_{1}(T)}}{T} ${\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}$

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {PV}{T}}}=k_{2}(P)P} ${\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P$ .

Poiché la parte sinistra di entrambe le equazioni è la stessa, si arriva a

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\an8}(T)}{T}}=k_{2}(P)P} ${\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P$ ,

il che significa che

P V T = stile di visualizzazione costante {\frac {PV}{T}{T}={textrm {constant}}}} P ${\frac {PV}{T}}={\textrm {constant}}$ .

La sostituzione nella Legge di Avogadro produce l'equazione del gas ideale.

Applicazioni

Una derivazione della legge sui gas combinati che utilizza solo l'algebra elementare può riservare sorprese. Ad esempio, partendo dalle tre leggi empiriche

P = k V T=k_{V}, T=k_{V},\x22! } $P=k_{V}\,T\,\!$ (1) Legge di Gay-Lussac, volume assunto costante

V = k P P T {\an8}Displaystyle V=k_{P}T,\an8}! } $V=k_{P}T\,\!$ (2) Legge di Carlo, la pressione assunta costante

P V = k T {\an8}(P V = k T = k_{T},\an8}! } $PV=k_{T}\,\!$ (3) Legge di Boyle, temperatura assunta costante

dove kV, kP e kT sono le costanti, si possono moltiplicare le tre insieme per ottenere

P V V P V = k V T k T T T T T T {\a6}VPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{Tk_T! } $PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\!$

Prendendo la radice quadrata di entrambi i lati e dividendo per T sembra produrre il risultato desiderato

P V V T = k P k V k V k T {\an8}P V V T = P K K V K K T = P V V V K T } ${\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}\,\!$

Tuttavia, se prima di applicare la procedura di cui sopra, ci si limita a riordinare i termini della Legge di Boyle, kT = PV, poi, dopo aver cancellato e riordinato, si ottiene

k T k V k P = T 2 -displaystyle {k_{\an8} {k_{T}}{k_{V}k_{P}=T^{2,}! } ${\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\!$

il che non è molto utile, se non fuorviante.

Una derivazione fisica, più lunga ma più affidabile, inizia con la consapevolezza che il parametro del volume costante nella legge di Gay-Lussac cambierà al variare del volume del sistema. A volume costante, V1 la legge potrebbe apparire P = k1T, mentre a volume costante V2 potrebbe apparire P = k2T. Indicando questo "volume costante variabile" con kV(V), riscrivere la legge come

P = k V ( V ) T {\a6}(V)\a6}(V)\a6}(V)\a6}(V)\a6}(V)\a6}(V)\a6}(V)! } $P=k_{V}(V)\,T\,\!$ (4)

La stessa considerazione vale per la costante della legge di Carlo, che può essere riscritta

V = k P ( P ) T {\a6}(P)\a6}(P)\a6}(P)\a6}(P)\a6}(P)\a6}(P)\a6}(P)\a6}(P) } $V=k_{P}(P)\,T\,\!$ (5)

Nel cercare di trovare kV(V), non si dovrebbe eliminare sconsideratamente T tra (4) e (5), poiché P varia nel primo, mentre nel secondo si assume che sia costante. Piuttosto, si dovrebbe prima determinare in che senso queste equazioni sono compatibili tra loro. Per avere un'idea di questo, ricordate che due variabili qualsiasi determinano la terza. Scegliendo P e V per essere indipendenti, immaginiamo i valori T che formano una superficie sopra il piano fotovoltaico. Una definita V0 e P0 definiscono una T0, un punto su quella superficie. Sostituendo questi valori in (4) e (5), e riorganizzando i rendimenti

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) e T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\a6}}{\a6}}{k_{V}(V_{0})}}{k_{V}(V_{0})}}{k_{P}(P_{0})}}}{k_{P}(P_{0})}}{k_{P}(P_{0}) $T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad and\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}$

Poiché entrambe descrivono ciò che accade nello stesso punto della superficie, le due espressioni numeriche possono essere equiparate e riarrangiate

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\a6}(V_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}={{frac {P_{0}}, \a6}! } ${\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}\,\!$ (6)

Si noti che 1/kV(V0) e 1/kP(P0) sono le pendenze delle linee ortogonali parallele all'asse P/V e passanti per quel punto sulla superficie sopra il piano fotovoltaico. Il rapporto delle pendenze di queste due linee dipende solo dal valore di P0/V0 in quel punto.

Si noti che la forma funzionale di (6) non dipendeva dal particolare punto scelto. La stessa formula sarebbe nata per qualsiasi altra combinazione di valori P e V. Pertanto, si può scrivere

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\an8}(V)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(P)}(V) ${\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\quad \forall P,\forall V$ (7)

Questo dice che ogni punto della superficie ha una propria coppia di linee ortogonali che lo attraversano, con il loro rapporto di pendenza che dipende solo da quel punto. Mentre la (6) è una relazione tra specifiche pendenze e valori variabili, la (7) è una relazione tra funzioni di pendenza e variabili di funzione. Essa vale per qualsiasi punto della superficie, cioè per qualsiasi e tutte le combinazioni di valori P e V. Per risolvere questa equazione per la funzione kV(V), separare prima le variabili, V a sinistra e P a destra.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\a6}(V)=P $V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)$

Scegliere qualsiasi pressione P1. Il lato destro valuta a qualche valore arbitrario, chiamatelo _karb.

V k V ( V ) = k arb {\an8}(V ) = k arb {\an8}(V) = k_{V{V}(V)=k__text{arb},\an8}! } $V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\!$ (8)

Questa particolare equazione deve ora essere vera, non solo per un valore di V, ma per tutti i valori di V. L'unica definizione di kV(V) che garantisce questo per tutti i V e i _karb arbitrari è

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_text{arb}}}{V $k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}}$ (9)

che può essere verificato mediante sostituzione al punto (8).

Infine, la sostituzione (9) nella legge di Gay-Lussac (4) e il riordino produce la legge combinata dei gas

P V T = k arb {\an8}PV = k arb {\an8}=k_text{\an8}arb!{\an8} } ${\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\!$

Si noti che, sebbene la legge di Boyle non sia stata utilizzata in questa derivazione, è facilmente deducibile dal risultato. Generalmente, due delle tre leggi di partenza sono tutto ciò che è necessario in questo tipo di derivazione - tutte le coppie di partenza portano alla stessa legge combinata del gas.

[
{[21875-17831]}]

La legge combinata dei gas può essere usata per spiegare la meccanica in cui pressione, temperatura e volume sono influenzati. Per esempio: condizionatori d'aria, frigoriferi e la formazione di nuvole e anche l'uso nella meccanica dei fluidi e nella termodinamica.

Pagine correlate

La legge di Dalton

Domande e risposte

D: Che cos'è la legge dei gas combinati?

R: La legge combinata dei gas è una formula sui gas ideali che mostra come tre variabili (pressione, volume e temperatura) siano correlate tra loro.

D: Quali sono le tre leggi che compongono la legge combinata dei gas?

R: Le tre leggi che compongono la legge dei gas combinati sono la Legge di Charles, la Legge di Boyle e la Legge di Gay-Lussac.

D: Cosa dice la Legge di Charles?

R: La Legge di Charles afferma che il volume e la temperatura sono direttamente proporzionali l'uno all'altra, purché la pressione rimanga invariata.

D: Cosa dice la Legge di Boyle?

R: La Legge di Boyle afferma che la pressione e il volume sono inversamente proporzionali tra loro alla stessa temperatura.

D: Cosa dice la Legge di Gay-Lussac?

R: La Legge di Gay-Lussac afferma che la temperatura e la pressione sono direttamente proporzionali, purché il volume rimanga invariato.

D: Come si collega la legge di Avogadro alla legge dei gas combinati?

R: Quando la legge di Avogadro viene aggiunta alla legge dei gas combinati, si crea la cosiddetta legge dei gas ideali.