4-politopo regolare convesso

In matematica, un 4-politopo regolare convesso (o policoro) è un politopo a 4 dimensioni (4D) che è sia regolare che convesso. Sono gli analoghi quadridimensionali dei solidi platonici (in tre dimensioni) e dei poligoni regolari (in due dimensioni).

Questi polipi furono descritti per la prima volta dal matematico svizzero Ludwig Schläfli a metà del XIX secolo. Schläfli scoprì che esistono precisamente sei figure di questo tipo. Cinque di queste possono essere pensate come analoghi dimensionali superiori dei solidi platonici. C'è un'ulteriore figura (la cella 24) che non ha un equivalente tridimensionale.

Ogni 4-politopo regolare convesso è delimitato da un insieme di celle tridimensionali che sono tutti solidi platonici dello stesso tipo e dimensione. Questi sono montati insieme lungo le loro rispettive facce in modo regolare.

Proprietà

Le tabelle seguenti elencano alcune proprietà delle sei policore regolari convesse. I gruppi di simmetria di queste policore sono tutti gruppi di Coxeter e sono dati nella notazione descritta in quell'articolo. Il numero che segue il nome del gruppo è l'ordine del gruppo.

Nomi	Famiglia	Schläfli simbolo	Vertici	Bordi	Volti	Cellule	Figure dei vertici	Politopo doppio	Gruppo di simmetria
Pentacoron5-cellulapentatopehyperpyramidhypertetrahedron4-simplex	simplex (n-simplex)	{3,3,3}	5	10	10 triangoli	5tetraedri	tetraedri	(auto-duale)	_A4	120
Tesseractoctachoron8-cellulahypercube4-cube	ipercubo (n-cubo)	{4,3,3}	16	32	24 piazze	8 cubi	tetraedri	16 celle	B4	384
Hexadecachoron16-cellulaorthoplexhyperoctahedron4-orthoplex	polipo incrociato (n-ortopoli)	{3,3,4}	8	24	32 triangoli	16tetraedri	ottaedri	tesseract	B4	384
Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoctahedron		{3,4,3}	24	96	96 triangoli	24 ottaedri	cubi	(auto-duale)	F4	1152
Ecatonicosachoron120-celledodecaplexhyperdodecahedronpolydodecahedron		{5,3,3}	600	1200	720 pentagoni	120dodecaedri	tetraedri	600-cella	H4	14400
Hexacosichoron600-celltetraplexhypericosahedronpolytetrahedron		{3,3,5}	120	720	1200 triangoli	600tetraedri	icosaedri	120-celle	H4	14400

Poiché i confini di ciascuna di queste figure sono topologicamente equivalenti a una sfera 3, la cui caratteristica di Eulero è zero, abbiamo l'analogo quadridimensionale della formula poliedrica di Eulero:

N 0 - N 1 + N 2 - N 3 = 0 {\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

dove Nk denota il numero di k facce nel politopo (un vertice è una faccia 0, un bordo è una faccia 1, ecc.)

Visualizzazioni

La seguente tabella mostra alcune proiezioni bidimensionali di questi polipi. Varie altre visualizzazioni possono essere trovate negli altri siti web qui sotto. I grafici del diagramma di Coxeter-Dynkin sono anche riportati sotto il simbolo di Schläfli.

5 celle	8-celle	16 celle	24 celle	120-celle	600-cella
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Proiezioni ortografiche wireframe all'interno dei poligoni di Petrie.

Proiezioni ortografiche solide
involucrotetraedrico (cella/verticale centrato)	involucro cubico (centrato sulla cella)	inviluppoottaedrico (centrato sul vertice)	involucrocubottaedrico (centrato sulle cellule)	busta a forma di rombo tronco di conoedro (centrato sulle celle)	Inviluppo icosidodecaedrico di Pentakis (centrato sul vertice)
Diagrammi Wireframe Schlegel (proiezione prospettica)
(Centrato sulle cellule)	(Centrato sulle cellule)	(Centrato sulle cellule)	(Centrato sulle cellule)	(Centrato sulle cellule)	(Centrato sul vertice)
Proiezioni stereografiche wireframe (ipersferiche)