4-politopo regolare convesso
In matematica, un 4-politopo regolare convesso (o policoro) è un politopo a 4 dimensioni (4D) che è sia regolare che convesso. Sono gli analoghi quadridimensionali dei solidi platonici (in tre dimensioni) e dei poligoni regolari (in due dimensioni).
Questi polipi furono descritti per la prima volta dal matematico svizzero Ludwig Schläfli a metà del XIX secolo. Schläfli scoprì che esistono precisamente sei figure di questo tipo. Cinque di queste possono essere pensate come analoghi dimensionali superiori dei solidi platonici. C'è un'ulteriore figura (la cella 24) che non ha un equivalente tridimensionale.
Ogni 4-politopo regolare convesso è delimitato da un insieme di celle tridimensionali che sono tutti solidi platonici dello stesso tipo e dimensione. Questi sono montati insieme lungo le loro rispettive facce in modo regolare.
Proprietà
Le tabelle seguenti elencano alcune proprietà delle sei policore regolari convesse. I gruppi di simmetria di queste policore sono tutti gruppi di Coxeter e sono dati nella notazione descritta in quell'articolo. Il numero che segue il nome del gruppo è l'ordine del gruppo.
| Nomi | Famiglia | Schläfli | Vertici | Bordi | Volti | Cellule | Figure dei vertici | Politopo doppio | Gruppo di simmetria | |
| Pentacoron5-cellulapentatopehyperpyramidhypertetrahedron4-simplex | simplex | {3,3,3} | 5 | 10 | 10 | 5tetraedri | tetraedri | (auto-duale) | A4 | 120 |
| Tesseractoctachoron8-cellulahypercube4-cube | ipercubo | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 | 8 | tetraedri | 16 celle | B4 | 384 |
| Hexadecachoron16-cellulaorthoplexhyperoctahedron4-orthoplex | polipo incrociato | {3,3,4} | 8 | 24 | 32 | 16tetraedri | ottaedri | tesseract | B4 | 384 |
| Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoctahedron | {3,4,3} | 24 | 96 | 96 | 24 ottaedri | (auto-duale) | F4 | 1152 | ||
| Ecatonicosachoron120-celledodecaplexhyperdodecahedronpolydodecahedron | {5,3,3} | 600 | 1200 | 720 | 120dodecaedri | tetraedri | 600-cella | H4 | 14400 | |
| Hexacosichoron600-celltetraplexhypericosahedronpolytetrahedron | {3,3,5} | 120 | 720 | 1200 | 600tetraedri | icosaedri | 120-celle | H4 | 14400 | |
Poiché i confini di ciascuna di queste figure sono topologicamente equivalenti a una sfera 3, la cui caratteristica di Eulero è zero, abbiamo l'analogo quadridimensionale della formula poliedrica di Eulero:
N 0 - N 1 + N 2 - N 3 = 0 {\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0,} 
dove Nk denota il numero di k facce nel politopo (un vertice è una faccia 0, un bordo è una faccia 1, ecc.)
Visualizzazioni
La seguente tabella mostra alcune proiezioni bidimensionali di questi polipi. Varie altre visualizzazioni possono essere trovate negli altri siti web qui sotto. I grafici del diagramma di Coxeter-Dynkin sono anche riportati sotto il simbolo di Schläfli.
| 5 celle | 8-celle | 16 celle | 24 celle | 120-celle | 600-cella |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
|
|
|
|
|
|
|
| Proiezioni ortografiche wireframe all'interno dei poligoni di Petrie. | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| Proiezioni ortografiche solide | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| Diagrammi Wireframe Schlegel (proiezione prospettica) | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| Proiezioni stereografiche wireframe (ipersferiche) | |||||
|
|
|
|
|
|
|
Pagine correlate
- Politopo regolare
- Solido platonico
Domande e risposte
D: Che cos'è un 4-polipo regolare convesso?
R: Un politopo regolare convesso è un politopo a 4 dimensioni che è sia regolare che convesso.
D: Quali sono gli analoghi dei 4-polipi regolari convessi in tre e due dimensioni?
R: Gli analoghi dei 4-polipi regolari convessi in tre dimensioni sono i solidi platonici, mentre in due dimensioni sono i poligoni regolari.
D: Chi ha descritto per primo i 4-polipi regolari convessi?
R: Il matematico svizzero Ludwig Schläfli ha descritto per la prima volta i 4-polipiani regolari convessi a metà del XIX secolo.
D: Quanti sono i quadripoli regolari convessi?
R: Esistono esattamente sei 4-polipiani regolari convessi.
D: Qual è la caratteristica unica del politopo a 24 celle tra i politopi regolari convessi?
R: Il politopo a 24 celle non ha un equivalente tridimensionale tra i 4-polipi regolari convessi.
D: Quali sono le celle tridimensionali che delimitano ogni 4-polipo regolare convesso?
R: Ogni 4-polipo regolare convesso è delimitato da un insieme di celle tridimensionali che sono tutti solidi platonici dello stesso tipo e dimensione.
D: In che modo le celle tridimensionali sono unite in un 4-politotipo regolare convesso?
R: Le celle tridimensionali sono incastrate tra loro lungo le rispettive facce in modo regolare in un 4-politopo regolare convesso.
