4-politopo regolare convesso

In matematica, un 4-politopo regolare convesso (o policoro) è un politopo a 4 dimensioni (4D) che è sia regolare che convesso. Sono gli analoghi quadridimensionali dei solidi platonici (in tre dimensioni) e dei poligoni regolari (in due dimensioni).

Questi polipi furono descritti per la prima volta dal matematico svizzero Ludwig Schläfli a metà del XIX secolo. Schläfli scoprì che esistono precisamente sei figure di questo tipo. Cinque di queste possono essere pensate come analoghi dimensionali superiori dei solidi platonici. C'è un'ulteriore figura (la cella 24) che non ha un equivalente tridimensionale.

Ogni 4-politopo regolare convesso è delimitato da un insieme di celle tridimensionali che sono tutti solidi platonici dello stesso tipo e dimensione. Questi sono montati insieme lungo le loro rispettive facce in modo regolare.

Proprietà

Le tabelle seguenti elencano alcune proprietà delle sei policore regolari convesse. I gruppi di simmetria di queste policore sono tutti gruppi di Coxeter e sono dati nella notazione descritta in quell'articolo. Il numero che segue il nome del gruppo è l'ordine del gruppo.

Nomi

Famiglia

Schläfli
simbolo

Vertici

Bordi

Volti

Cellule

Figure dei vertici

Politopo doppio

Gruppo di simmetria

Pentacoron5-cellulapentatopehyperpyramidhypertetrahedron4-simplex

simplex
(n-simplex)

{3,3,3}

5

10

10
triangoli

5tetraedri

tetraedri

(auto-duale)

A4

120

Tesseractoctachoron8-cellulahypercube4-cube

ipercubo
(n-cubo)

{4,3,3}

16

32

24
piazze

8
cubi

tetraedri

16 celle

B4

384

Hexadecachoron16-cellulaorthoplexhyperoctahedron4-orthoplex

polipo incrociato
(n-ortopoli)

{3,3,4}

8

24

32
triangoli

16tetraedri

ottaedri

tesseract

B4

384

Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoctahedron

{3,4,3}

24

96

96
triangoli

24 ottaedri

cubi

(auto-duale)

F4

1152

Ecatonicosachoron120-celledodecaplexhyperdodecahedronpolydodecahedron

{5,3,3}

600

1200

720
pentagoni

120dodecaedri

tetraedri

600-cella

H4

14400

Hexacosichoron600-celltetraplexhypericosahedronpolytetrahedron

{3,3,5}

120

720

1200
triangoli

600tetraedri

icosaedri

120-celle

H4

14400

Poiché i confini di ciascuna di queste figure sono topologicamente equivalenti a una sfera 3, la cui caratteristica di Eulero è zero, abbiamo l'analogo quadridimensionale della formula poliedrica di Eulero:

N 0 - N 1 + N 2 - N 3 = 0 {\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0,} {\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,}

dove Nk denota il numero di k facce nel politopo (un vertice è una faccia 0, un bordo è una faccia 1, ecc.)

Visualizzazioni

La seguente tabella mostra alcune proiezioni bidimensionali di questi polipi. Varie altre visualizzazioni possono essere trovate negli altri siti web qui sotto. I grafici del diagramma di Coxeter-Dynkin sono anche riportati sotto il simbolo di Schläfli.

5 celle

8-celle

16 celle

24 celle

120-celle

600-cella

{3,3,3}

{4,3,3}

{3,3,4}

{3,4,3}

{5,3,3}

{3,3,5}

Proiezioni ortografiche wireframe all'interno dei poligoni di Petrie.

Proiezioni ortografiche solide



involucrotetraedrico

(cella/verticale centrato)


involucro cubico
(centrato sulla cella)



inviluppoottaedrico

(centrato sul vertice)



involucrocubottaedrico

(centrato sulle cellule)


busta a forma di rombo tronco di conoedro
(centrato sulle celle)


Inviluppo icosidodecaedrico di Pentakis
(centrato sul vertice)

Diagrammi Wireframe Schlegel (proiezione prospettica)


(Centrato sulle cellule)


(Centrato sulle cellule)


(Centrato sulle cellule)


(Centrato sulle cellule)


(Centrato sulle cellule)


(Centrato sul vertice)

Proiezioni stereografiche wireframe (ipersferiche)

Pagine correlate

  • Politopo regolare
  • Solido platonico

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