Funzione gamma

In matematica, la funzione gamma (Γ(z)) è un'estensione della funzione fattoriale a tutti i numeri complessi ad eccezione dei numeri interi negativi. Per gli interi positivi, essa è definita come Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! \displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } $\Gamma (n)=(n-1)!$

La funzione gamma è definita per tutti i numeri complessi. Ma non è definita per gli interi negativi e lo zero. Per un numero complesso la cui parte reale non è un numero intero negativo, la funzione è definita da:

La funzione gamma lungo parte dell'asse reale

Proprietà

Valori particolari

Alcuni valori particolari della funzione gamma sono:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.77245383850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! 363271801207 \\Gamma (-1/2)&=-2{\fscx130\fscy130\frx40}&&approssimativamente 3.544907701811 {\fscx130\fscy130\frx40}Gamma (1/2)&={\fscx130\fscy130\frx40}&\fscy130\frx40}&appssimativamente 1.772453850905 \\Gamma (1)&=0!&=1 \Gamma (3/2)&={\frac {1}{2}{\fscx130\fscy130\frx40}{\fscy130\frx40}{\fscy130\frx40}{\fscy130\frx40}&&&}approssimativamente 0.88622692545\Sqrt {\fscx130\fscy130\fscy130\frx40}{\fscx130\fscy130\frx40}{\fscy130\frx40}{\fscy130\frx40}{\fscy130\frx40}{\fscy130\frx40}{\fscy130\frx40}{\fscy130\frx40}Ehi, ehi, ehi, ehi!e=2\2\2\2\2\2\3\3\3\3\3\3\4\3\3\3\4\4\3\3\3\4\fad(*), e=2\2\2\3\3\3\3\3\4\fad(*), e=2\2\3\3\3\3\3\3\4\fad(*). ${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

Funzione Pi

Gauss ha introdotto la funzione Pi. Questo è un altro modo di denotare la funzione gamma. In termini di funzione gamma, la funzione Pi è

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t t z + 1 d t t t , {\fscx130\fscy130\fscy130\frx40}Pi (z)= \Gamma (z+1)=z\fscy130\fscy130\frx40};\Gamma (z)=_infty }e^{-t}t^{z+1},{\frac {{{rm {d}}t}{t},} $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},$

in modo che

Π ( n ) = n ! , {\an8}(n)=n!\an8},,} $\Pi (n)=n!\,,$

per ogni n. intero non negativo.

Applicazioni

Teoria dei numeri analitici

La funzione gamma viene utilizzata per studiare la funzione zeta di Riemann. Una proprietà della funzione zeta di Riemann è la sua equazione funzionale:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . \displaystyle \Gamma \Sinistra(frac {\frac {2}{2} a destra)\fscx130\fscy130\frx40}Zeta (s)\fscy130\fscy130\fscy130\frx40}-(1-s)\fscy130\frx40}-(1-s)\fscy230\fscy130\frx40}-(1-s)\fscy230\fscy130\frx40}. } $\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.$

Bernhard Riemann ha trovato una relazione tra queste due funzioni. Questo è stato nel 1859 carta "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenenen Grösse" ("Sul numero di numeri primi meno di una data quantità")

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . \displaystyle \zeta (z)\ \gamma (z)=int _{0}^infty \frac {t^{z}{e^{t}-1}. } $\zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.$

Domande e risposte

D: Che cos'è la funzione gamma in matematica?

R: La funzione gamma è un argomento chiave nel campo delle funzioni speciali in matematica.

D: Qual è l'estensione della funzione fattoriale a tutti i numeri complessi, ad eccezione dei numeri interi negativi?

R: La funzione gamma è un'estensione della funzione fattoriale a tutti i numeri complessi, ad eccezione degli interi negativi.

D: Come viene definita la funzione gamma per gli interi positivi?

R: Per i numeri interi positivi, la funzione gamma è definita come Γ(n) = (n-1)!

D: La funzione gamma è definita per tutti i numeri complessi?

R: Sì, la funzione gamma è definita per tutti i numeri complessi.

D: La funzione gamma è definita per i numeri interi negativi e per lo zero?

R: No, la funzione gamma non è definita per i numeri interi negativi e per lo zero.

D: Come viene definita la funzione gamma per un numero complesso la cui parte reale non è un intero negativo?

R: La funzione gamma viene definita per un numero complesso la cui parte reale non è un intero negativo, mediante una formula specifica che non viene fornita nel testo.

D: Perché la funzione gamma è importante in matematica?

R: La funzione gamma è importante in matematica perché è un argomento chiave nel campo delle funzioni speciali ed estende la funzione fattoriale a tutti i numeri complessi, ad eccezione degli interi negativi.