Un numero complesso è un numero, ma si differenzia dai numeri comuni per molti aspetti. Un numero complesso è composto da due numeri combinati insieme. La prima parte è un numero reale. La seconda parte di un numero complesso è un numero immaginario. Il numero immaginario più importante è chiamato i {\displaystyle i} 
, definito come un numero che sarà -1 al quadrato ("quadrato" significa "moltiplicato per se stesso"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\volte i=-1\ }}. 
. Tutti gli altri numeri immaginari sono i {\i} moltiplicati per un numero reale, nello stesso modo in cui tutti i numeri reali possono essere considerati come 1 moltiplicato per un altro numero. Funzioni aritmetiche come addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione possono essere utilizzate con numeri complessi. Esse seguono anche proprietà commutative, associative e distributive, proprio come i numeri reali.
Sono stati scoperti numeri complessi mentre si cercava di risolvere equazioni speciali che hanno degli esponenti in esse. Questi cominciarono a porre problemi reali ai matematici. Come confronto, usando numeri negativi, è possibile trovare la x nell'equazione a + x = b {\displaystyle a+x=b} 
per tutti i valori reali di a e b, ma se sono ammessi solo numeri positivi per x è talvolta impossibile trovare una x positiva, come nell'equazione 3 + x = 1.
Con l'esponenzialità, c'è una difficoltà da superare. Non c'è un numero reale che dia un -1 quando è al quadrato. In altre parole, -1 (o qualsiasi altro numero negativo) non ha una vera radice quadrata. Per esempio, non c'è un numero reale x {\displaystyle x} 
che risolve ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
. Per risolvere questo problema, i matematici hanno introdotto un simbolo i e lo hanno chiamato numero immaginario. Questo è il numero immaginario che darà -1 quando sarà al quadrato.
I primi matematici ad averci pensato sono stati probabilmente Gerolamo Cardano e Raffaele Bombelli. Essi vissero nel XVI secolo. Fu probabilmente Leonhard Euler che introdusse la scrittura i \displaystyle \mathrm {i}. } 
per quel numero.
Tutti i numeri complessi possono essere scritti come a + b i {\i} 
(o a + b ⋅ i {\an8}
, dove a è chiamato la parte reale del numero, e b è chiamato la parte immaginaria. Scriviamo ℜ ( z ) {\a) {displaystyle \a (z)} 
o Re ( z ) {\a6}displaystyle \a (z) \a (z)} 
per la parte reale di un numero complesso z {\a6} 
. Quindi, se z = a + b i {\i {\i\i} 
, scriviamo a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\i\i\i} {\i\i} {\i\i}}(z ) {\i\i} (z)}(Re} (z)\i\i} (z)\i\i}(Re}) (z)}
. Allo stesso modo, scriviamo ℑ ( z ) {displaystyle \i} 
o Im ( z ) {\i}displaystyle \operatorname {Im}. (z)} 
per la parte immaginaria di un numero complesso z {\programmazione z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\programmazione b = \programmazione b = \programmazione (z)=programmazione {Im) (z)} 
per lo stesso z. Ogni numero reale è anche un numero complesso; è un numero complesso z con ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
.
Il numero complesso può anche essere scritto come coppia ordinata, (a, b). Sia a che b sono numeri reali. Qualsiasi numero reale può essere scritto semplicemente come + 0 ⋅ i {\i {\i} 
o come coppia (a, 0).
A volte, j {\i} 
è scritto al posto di i {\i} . In ingegneria elettrica, i {\an8} significa corrente elettrica. La scrittura di i {\i} può causare molti problemi perché alcuni numeri nell'ingegneria elettrica sono numeri complessi.
L'insieme di tutti i numeri complessi è di solito scritto come "C". } 
.
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{[22250-18120]}]
Operazioni su numeri complessi
L'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione, la divisione fino a quando il divisore non è zero, e l'esponenziazione (innalzamento dei numeri agli esponenti) sono tutte possibili con numeri complessi. Alcuni altri calcoli sono possibili anche con numeri complessi.
La regola per l'addizione e la sottrazione di numeri complessi è piuttosto semplice:
Lasciate che z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\a+bi),w=(c+di)} 
, quindi z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
, e z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
.
La moltiplicazione è un po' diversa:
z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } 
Un'altra operazione degna di nota per i numeri complessi è la coniugazione. Una coniugata complessa z ¯ {\a+bi}} 
a z = a + b i {\a+bi} è a - b i {\a+bi} 
. E' abbastanza semplice, ma è importante per i calcoli, perché z × z ¯ {\a+bi}} 
appartiene ai numeri reali per tutti i complessi z {\a+bi}}:
z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\fscx130\fscy130\frx40}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}{2}}}}}}(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}}}}(a+bi) 
.
Possiamo usare questo per fare la divisione:
1 z = z ¯ z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\a6}}}{\a6}{\a6}}{\a6}{z{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} 
w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . ( c+di)\displaystyle {\frac {w}{z}=w(frac {1}{z})=(c+di)\cdot \frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{{frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\frac {b^destra)={frac {1}{a^{2}+b^{2}}}left((cx+dy)+(dx-cy)i\fscx130\fscy)i\fscy130\fscy130\frx40}}. } 
