Numero complesso

Un numero complesso è un numero, ma si differenzia dai numeri comuni per molti aspetti. Un numero complesso è composto da due numeri combinati insieme. La prima parte è un numero reale. La seconda parte di un numero complesso è un numero immaginario. Il numero immaginario più importante è chiamato i {\displaystyle i} $i$ , definito come un numero che sarà -1 al quadrato ("quadrato" significa "moltiplicato per se stesso"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\volte i=-1\ }}. $i^{2}=i\times i=-1\$ . Tutti gli altri numeri immaginari sono i {\i} $i$ moltiplicati per un numero reale, nello stesso modo in cui tutti i numeri reali possono essere considerati come 1 moltiplicato per un altro numero. Funzioni aritmetiche come addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione possono essere utilizzate con numeri complessi. Esse seguono anche proprietà commutative, associative e distributive, proprio come i numeri reali.

Sono stati scoperti numeri complessi mentre si cercava di risolvere equazioni speciali che hanno degli esponenti in esse. Questi cominciarono a porre problemi reali ai matematici. Come confronto, usando numeri negativi, è possibile trovare la x nell'equazione a + x = b {\displaystyle a+x=b} $a+x=b$ per tutti i valori reali di a e b, ma se sono ammessi solo numeri positivi per x è talvolta impossibile trovare una x positiva, come nell'equazione $3 + x = 1$ .

Con l'esponenzialità, c'è una difficoltà da superare. Non c'è un numero reale che dia un -1 quando è al quadrato. In altre parole, -1 (o qualsiasi altro numero negativo) non ha una vera radice quadrata. Per esempio, non c'è un numero reale x {\displaystyle x} che risolve ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9} $(x+1)^{2}=-9$ . Per risolvere questo problema, i matematici hanno introdotto un simbolo i e lo hanno chiamato numero immaginario. Questo è il numero immaginario che darà -1 quando sarà al quadrato.

I primi matematici ad averci pensato sono stati probabilmente Gerolamo Cardano e Raffaele Bombelli. Essi vissero nel XVI secolo. Fu probabilmente Leonhard Euler che introdusse la scrittura i \displaystyle \mathrm {i}. } $\mathrm {i}$ per quel numero.

Tutti i numeri complessi possono essere scritti come a + b i {\i} $a+bi$ (o a + b ⋅ i {\an8} $a+b\cdot i$ , dove a è chiamato la parte reale del numero, e b è chiamato la parte immaginaria. Scriviamo ℜ ( z ) {\a) {displaystyle \a (z)} $\Re (z)$ o Re ( z ) {\a6}displaystyle \a (z) \a (z)} $\operatorname {Re} (z)$ per la parte reale di un numero complesso z {\a6} $z$ . Quindi, se z = a + b i {\i {\i\i} $z=a+bi$ , scriviamo a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\i\i\i} {\i\i} {\i\i}}(z ) {\i\i} (z)}(Re} (z)\i\i} (z)\i\i}(Re}) (z)} $a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)$ . Allo stesso modo, scriviamo ℑ ( z ) {displaystyle \i} $\Im (z)$ o Im ( z ) {\i}displaystyle \operatorname {Im}. (z)} $\operatorname {Im} (z)$ per la parte immaginaria di un numero complesso z {\programmazione z} $z$ ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\programmazione b = \programmazione b = \programmazione (z)=programmazione {Im) (z)} $b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)$ per lo stesso $z$ . Ogni numero reale è anche un numero complesso; è un numero complesso $z$ con ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0} $\Im (z)=0$ .

Il numero complesso può anche essere scritto come coppia ordinata, $(a, b)$ . Sia a che b sono numeri reali. Qualsiasi numero reale può essere scritto semplicemente come + 0 ⋅ i {\i {\i} $a+0\cdot i$ o come coppia $(a, 0)$ .

A volte, j {\i} $j$ è scritto al posto di i {\i} $i$ . In ingegneria elettrica, i {\an8} $i$ significa corrente elettrica. La scrittura di i {\i} $i$ può causare molti problemi perché alcuni numeri nell'ingegneria elettrica sono numeri complessi.

L'insieme di tutti i numeri complessi è di solito scritto come "C". } $\mathbb {C}$ .

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{[22250-18120]}]

Operazioni su numeri complessi

L'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione, la divisione fino a quando il divisore non è zero, e l'esponenziazione (innalzamento dei numeri agli esponenti) sono tutte possibili con numeri complessi. Alcuni altri calcoli sono possibili anche con numeri complessi.

La regola per l'addizione e la sottrazione di numeri complessi è piuttosto semplice:

Lasciate che z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\a+bi),w=(c+di)} $z=(a+bi),w=(c+di)$ , quindi z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i} $z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ , e z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i} $z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$ .

La moltiplicazione è un po' diversa:

z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } $z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

Un'altra operazione degna di nota per i numeri complessi è la coniugazione. Una coniugata complessa z ¯ {\a+bi}} ${\overline {z}}$ a z = a + b i {\a+bi} $z=a+bi$ è a - b i {\a+bi} $a-bi$ . E' abbastanza semplice, ma è importante per i calcoli, perché z × z ¯ {\a+bi}} $z\times {\overline {z}}$ appartiene ai numeri reali per tutti i complessi z {\a+bi}} $z$ :

z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\fscx130\fscy130\frx40}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}{2}}}}}}(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}}}}(a+bi) $z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}$ .

Possiamo usare questo per fare la divisione:

1 z = z ¯ z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\a6}}}{\a6}{\a6}}{\a6}{z{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i$

w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . ( c+di)\displaystyle {\frac {w}{z}=w(frac {1}{z})=(c+di)\cdot \frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{{frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\frac {b^destra)={frac {1}{a^{2}+b^{2}}}left((cx+dy)+(dx-cy)i\fscx130\fscy)i\fscy130\fscy130\frx40}}. } ${\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).$

Altre forme di descrizione di numeri complessi

I numeri complessi possono essere mostrati su un cosiddetto piano complesso. Se si dispone di un numero z = a + b i {\i {\i} $z=a+bi$ , si può andare in un punto sull'asse reale e a b sull'asse immaginario e disegnare un vettore da ( 0 , 0 ) {\i\i} $(0,0)$ a ( a , b ) {\i\i} $(a,b)$ . La lunghezza di questo vettore può essere calcolata usando il teorema di Pitagora e l'angolo tra l'asse reale positivo e questo vettore, andando in senso antiorario. La lunghezza di un vettore per un numero z {\displaystyle z} $z$ è chiamata il suo modulo (scritto come | z | {\displaystyle |z|} $|z|$ ), e l'angolo è chiamato il suo argomento ( arg z {\displaystyle \arg z} $\arg z$ ).

Questo porta alla forma trigonometrica della descrizione di numeri complessi: secondo le definizioni di seno e coseno, per tutti gli z

z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . } $z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z).$

Questo è strettamente collegato alla formula di De Moivre.

Esiste anche un'altra forma, detta esponenziale.

Un numero complesso può essere mostrato visivamente come due numeri che formano un vettore su un diagramma di Argand, che rappresenta il piano complesso.

Conclusione

Con l'aggiunta di numeri complessi alla matematica, ogni polinomio con coefficienti complessi ha radici che sono numeri complessi. Il successo dell'aggiunta dei numeri complessi alla matematica ha anche contribuito ad aprire la strada alla creazione di un altro tipo di numeri che potrebbero risolvere e aiutare a spiegare molti problemi diversi, per esempio i: numeri ipercomplessi, sedenio, numeri iperreali, numeri surreali e molti altri. Vedi i tipi di numeri.

Domande e risposte

D: Che cos'è un numero complesso?

R: Un numero complesso è un numero composto da due parti, di cui la prima è un numero reale e la seconda è un numero immaginario.

D: Qual è il numero immaginario più importante?

R: Il numero immaginario più importante si chiama i, che è definito come un numero che sarà -1 quando viene elevato al quadrato.

D: Come si utilizzano le funzioni aritmetiche con i numeri complessi?

R: Le funzioni aritmetiche come l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione possono essere utilizzate con i numeri complessi. Inoltre, seguono le proprietà commutative, associative e distributive, proprio come i numeri reali.

D: Quale simbolo rappresenta l'insieme dei numeri complessi?

R: L'insieme dei numeri complessi è spesso rappresentato dal simbolo C.

D: Perché sono stati scoperti i numeri complessi?

R: I numeri complessi sono stati scoperti mentre si cercava di risolvere equazioni speciali che contengono esponenti, perché ponevano problemi reali ai matematici.

D: Chi ha introdotto la scrittura i per questo tipo di numeri?

R: Probabilmente è stato Leonhard Euler a introdurre la scrittura i per questo tipo di numeri.

D: Come si può scrivere un numero complesso come una coppia ordinata?

R: Un numero complesso può essere scritto come una coppia ordinata (a, b), dove sia a che b sono numeri reali.