Primitiva (matematica)

L'anatidifferenziazione (chiamata anche integrazione indefinita) è una cosa che si fa in matematica. È l'opposto della differenziazione.

Gli antiderivativi possono dirvi le dimensioni in modo generale. L'anatidifferenziazione si fa su cose come le equazioni. L'anatidifferenziazione ti dà una cosa chiamata antiderivativo. Un antiderivativo è un altro tipo di equazione. L'anatidifferenziazione è come l'integrazione con ma senza limiti. Per questo si chiama indefinita.

Un antiderivativo è scritto come ∫ x d x {\i} x d x {\i} {\displaystyle \int x\ dx}

Integrazione semplice

Per integrare un'ascia in stile x n... {\displaystyle ax^{n}}

  • Aggiungi 1 alla potenza n {\fscx130\fscy130\frx40}- Aggiungi 1 alla potenza n{\fscy130\frx40} nquindi un'ascia in stile x n^{n}} {\displaystyle ax^{n}}è ora un'ascia in stile x n + 1^{n+1}}. {\displaystyle ax^{n+1}}
  • Dividere tutto questo per il nuovo potere, quindi ora è un x n + 1 n + 1 {\frac {\frac^{n+1}}{n+1}}}{n+1}} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
  • Aggiungere la costante c {\displaystyle c} {\displaystyle c}, quindi ora è una x n + 1 n + 1 + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Questo può essere mostrato come:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + 1 + c {\a6}{{n+1}}+c}{n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Quando ci sono molti xtermini in stile x, integrare ogni parte per conto proprio:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\a6}-5x^{6}-5x^{4}}} dx={\frac {2x^{7}}{7}}}-{\a6x^{5}}+c={\a6x{7}}}x^{7}-x^{7}-x^{5^{5}+c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Questo funziona solo se le parti vengono aggiunte o tolte).

Esempi

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\fscx130\fscy130\frx40}{\fscx130\fscy130\frx40}+c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\fscx130\fscy130\frx40}+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}} dx={\frac {x^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3}+{\frac {x^{3}}}+{\frac {x^{4}}{4}+{\frac {x^{5}}+c} {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\a6}{x+4}}} {\a6} {\a6} {\a6}{x+4} {\a6} {\a6}{x+4}} {\a6} {\a6}{x+4 |x+4 | volte 1+c=\a6}{x+4 |+c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

Cambiare le frazioni e le radici in potenze lo rende più facile:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\an8}{x^{3}}} dx=\an8}int x^{-3}} dx={\an8}frac {x^{-2}{-2}}+c=-{\an8}frac {x^{2x^{2}}+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c = 2 5 x 5 + c {\programmazione \sqrt {x^{{3}}}} \x = \sqrt x^{\frac {3}{2}}{2}} dx={\frac {x^{\frac {x^{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}{5}}x^{\frac {5}}+c={\frac {2}{\frac {x^{5}}+c} {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

Integrazione di un supporto ("regola della catena")

Se si desidera integrare una staffa come ( 2 x + 4 ) 3 {\i}} {\i} {\i} {\i\i} {\displaystyle (2x+4)^{3}}dobbiamo farlo in modo diverso. Si chiama regola della catena. È come una semplice integrazione. Funziona solo se il x {\displaystyle x} xnella staffa ha una potenza di 1 (è lineare) come x {\displaystyle x} xo 5 x {\displaystyle 5x}. {\displaystyle 5x}(non x 5 {\displaystyle x^{5}}} {\displaystyle x^{5}}o x - 7 {\displaystyle x^{-7}} {\displaystyle x^{-7}}).

Per fare ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\fscx130\fscy130\frx40}}Displaystyle \int (2x+4)^{3}\fscx130\fscy130\frx40}DX {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

  • Aggiungere 1 alla potenza 3 {\i} {\displaystyle 3}, in modo che sia ora ( 2 x + 4 ) 4 {\i} {\i\i} {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • Dividere tutto questo per il nuovo potere di ottenere ( 2 x + 4 ) 4 4 4 {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}{4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • Dividere tutto questo per la derivata della parentesi ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\frac(2x+4)}{dx}}=2 \destra)}}Dividete tutto questo per la derivata della parentesi ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}per ottenere ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\frac {(2x+4)^{4}}}{4\tempi 2}}={\frac {1}{8}}}(2x+4)^{4}}}(2x+4) {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Aggiungere la costante c{\displaystyle c} {\\fscx130\fscy130\frx40}(2x+4)^{4}+c}(2x+4)^{4}+c}(2x+4)^{4}+c}(2x+4). {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Esempi

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\an8}(\an8}(1 ) {\an8}(1 ) {\an8}(2 ) (in inglese) (x+1)^{5}}{5}\frac {(x+1)^{6}}{6\frac {(x+1)^{6}+c={\frac {1}{6}{6}+1)^{6}+c{6\fscx130\fscy130\frx40}+sinistra(\frac {d(x+1)}{dx}=1\destra)} {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\a6}{(7x+12)^{9}}}}\a6}}\a6} {\a6}{(7x+12)^{-9 dx={\frac {(7x+12)^{-8}{-8}{-8}{\an8}+c=-{\an8}frac {1}{56}(7x+12)^{-8}+c=-{\an8}frac {1}{56(7x+12)^{8}}+c{\an8}left(\an8}perche' frac {d(7x+12)}{dx}=7\an8}=destra)} {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

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Domande e risposte

D: Che cos'è l'antidifferenziazione?


R: L'antidifferenziazione (chiamata anche integrazione indefinita) è il processo di ricerca di una determinata funzione nel calcolo. È l'opposto della differenziazione e comporta l'elaborazione di una funzione per ottenere un'altra funzione (o classe di funzioni) chiamata antiderivata.

D: Come viene rappresentata?


R: Quando sono rappresentate come lettere singole, le antiderivate assumono spesso la forma di lettere romane maiuscole, come F e G. In generale, un'antiderivata è scritta nella forma ∫f(x) dx.

D: Cosa comporta l'antidifferenziazione?


R: L'antidifferenziazione comporta l'elaborazione di una funzione per ottenere un'altra funzione (o classe di funzioni) chiamata antiderivata.

D: In che modo differisce dall'integrazione?


R: L'antidifferenziazione si differenzia dall'integrazione in quanto non comporta limiti - per questo motivo viene definita integrazione indefinita.

D: Quali sono alcuni esempi di come può essere espressa l'antidifferenziazione?


R: Esempi di come l'antidifferenziazione può essere espressa includono F e G quando sono rappresentate come lettere singole, o ∫f(x) dx quando sono scritte in forma generale.

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