Integrale

Nel calcolo, un integrale è lo spazio sotto un grafico di un'equazione (talvolta detto come "l'area sotto una curva"). Un integrale è l'inverso di un derivato ed è l'opposto del calcolo differenziale. Una derivata è la ripidezza (o "pendenza"), come il tasso di variazione, di una curva. La parola "integrale" può essere usata anche come aggettivo che significa "correlato a numeri interi".

Il simbolo per l'integrazione, in matematica, e': ∫, in stile grafico, come $\int _{\,}^{\,}$ una lettera "S" alta. Questo simbolo fu usato per la prima volta da Gottfried Wilhelm Leibniz, che lo usò come "ſ" stilizzato. (per summa, in latino summa) significa la somma dell'area coperta da un'equazione, come y = f(x).

Integrali e derivati fanno parte di una branca della matematica chiamata calcolo. Il collegamento tra questi due è molto importante, ed è chiamato Teorema Fondamentale del calcolo. Il teorema dice che un integrale può essere invertito da un derivato, in modo simile a come un'addizione può essere invertita da una sottrazione.

L'integrazione aiuta quando si cerca di moltiplicare le unità in un problema. Per esempio, se un problema con il tasso, ( tempo di distanza), (tempo di distanza), mostra il testo a sinistra (tempo di distanza). $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ , ha bisogno di una risposta con la giusta distanza, una soluzione è l'integrazione rispetto al tempo. Questo significa moltiplicare in tempo per annullare il tempo in ( distanza tempo ) × tempo in ( distanza tempo ) × tempo in modo da annullare il tempo in ( distanza tempo ) × tempo in modo da annullare il tempo in modo da annullare il tempo in ( distanza tempo ) × tempo in modo da annullare il tempo in modo da annullare il tempo in ( distanza tempo ) × tempo in modo da annullare il tempo in modo da annullare il tempo in modo da annullare il tempo in modo da annullare il tempo in modo da annullare il tempo in (distanza tempo ) $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Questo viene fatto aggiungendo piccole fette del grafico del tasso insieme. Le fette sono vicine allo zero in larghezza, ma aggiungendole per sempre si ottiene un intero. Questo si chiama somma di Riemann.

Sommando queste fette insieme si ottiene l'equazione di cui la prima equazione è il derivato. Gli integrali sono come un modo per aggiungere molte piccole cose insieme a mano. È come la somma, che è aggiungere 1 + 2 + 3 + 4.... + n {\displaystyle 1+2+3+4.... $1+2+3+4....+n$ . La differenza con l'integrazione è che dobbiamo anche aggiungere tutti i decimali e le frazioni in mezzo.

Un'altra integrazione temporale è utile quando si trova il volume di un solido. Può aggiungere fette bidimensionali (senza larghezza) del solido insieme per sempre fino a quando non c'è una larghezza. Questo significa che l'oggetto ora ha tre dimensioni: le due originali e una larghezza. Questo dà il volume dell'oggetto tridimensionale descritto.

L'integrazione consiste nel trovare la superficie s, data a, b e y = f(x). La formula per l'integrale da a a b, riportata sopra, è:
Formula: ∫ a b f ( x ) d x {\an8}(x ) d x {\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x) $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Cos'è l'integrale (animazione)

Metodi di integrazione

Antiderivativo

Secondo il teorema fondamentale del calcolo, l'integrale è l'antiderivativo.

Se prendiamo la funzione 2 x {\i} $2x$ per esempio, e anti-differenziarlo, possiamo dire che un integrale di 2 x {\i\i} $2x$ è x 2 {\i\i} $x^{2}$ . Diciamo un integrale, non l'integrale, perché l'antiderivativo di una funzione non è unico. Per esempio, anche x 2 + 17 {\programmazione x^{2}+17} $x^{2}+17$ si differenzia da 2 x {\programmazione 2x} $2x$ . Per questo motivo, quando si prende l'antiderivativo si deve aggiungere una costante C. Questa viene chiamata integrale indefinita. Questo perché quando si trova la derivata di una funzione, le costanti sono uguali a 0, come nella funzione

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\i} f(x)=5x^{2}+9x+15\i} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\i\i} f'(x)=10x+9+0\i\i} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Si noti lo 0: non possiamo trovarlo se abbiamo solo la derivata, quindi l'integrale è

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\i} (10x+9)\i}, dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Equazioni semplici

Una semplice equazione come y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}} $y=x^{2}$ può essere integrata rispetto a x utilizzando la seguente tecnica. Per integrare, si aggiunge 1 alla potenza a cui si alza x, e poi si divide x per il valore di questa nuova potenza. Pertanto, l'integrazione di una normale equazione segue questa regola: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + 1 + C {\i}displaystyle \i}int _{\i},}^{{\i},}x^{n}dx={\i}frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}. $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

La d x {\i} $dx$ alla fine è ciò che dimostra che ci stiamo integrando rispetto a x, cioè come x cambia. Questo può essere visto come l'inverso della differenziazione. Tuttavia, c'è una costante, C, aggiunta quando si integra. Questa è chiamata la costante dell'integrazione. Questo è richiesto perché differenziando un intero si ottiene zero, quindi l'integrazione zero (che può essere messa alla fine di qualsiasi integrando) produce un intero, C. Il valore di questo intero si troverebbe utilizzando determinate condizioni.

Le equazioni con più di un termine vengono semplicemente integrate integrando ogni singolo termine:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\a6}{\a6}^^^,x^{2}+3x-2dx=\i\i}+3x-2dx={\i\i} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integrazione tra e e ln

Ci sono alcune regole per integrare l'uso della e e e il logaritmo naturale. La cosa più importante è che e x{\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ è l'integrale di se stesso (con l'aggiunta di una costante di integrazione): ∫ e x d x = e x + C {\i}displaystyle \i}int _{\i},^^^, ^e^{x}dx=e^{x}+C $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Il logaritmo naturale, ln, è utile quando si integrano equazioni con 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Queste non possono essere integrate usando la formula di cui sopra (aggiungere uno alla potenza, dividere per la potenza), perché aggiungerne uno alla potenza produce 0, e una divisione per 0 non è possibile. Invece, l'integrale di 1 / x {\i}displaystyle 1/x} $1/x$ è ln x {\i}displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\i}displaystyle \i}int _{\i},^{{\i},}{\i}frac {1}dx=\i}dx=_ln x+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

In una forma più generale: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Le due barre verticali indicano un valore assoluto; il segno (positivo o negativo) di f ( x ) f(x) viene ignorato. Questo perché non esiste un valore per il logaritmo naturale dei numeri negativi.

Proprietà

Somma delle funzioni

L'integrale di una somma di funzioni è la somma dell'integrale di ogni funzione. cioè,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\a}[f(x)+g(x)]}[f(x)+g(x)]\b}[f(x)+g(x)]\a}[f(x)+g(x)]\a}[f(x)+g(x)]\b(x)\a(x)\a(x)\a(x)\a(x)\a(x)\a(x)] $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

La prova di ciò è evidente: La definizione di integrale è un limite di somme. Così

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) f(x)+g(x)]\x22, dx=lim _n\x40}[f(x)+g(x)]\x40}[f(x)+g(x)]\x40}[f(x)+g(x__i) \x40}[f(x)+g(x_i) \x40}[f(x)+g(x_i) \x40}[f(x)+g(x_i) \x40}[f(x)+g(x)]\x40}[f(x)+g(x)]\x40}[f(x)+g(x)]. $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\a6}}}displaystyle =_lim _{n\to \infty \sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\a6_sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*}) $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\an8}displaystyle =_lim _{n\to \infty \sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty \sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*}) $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\an8} d x {\an8} d x {\an8}DX+int \an8}int \x22limits _{a}^{b}f(x)\an8}f(x)\an8}g(x)\x $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Si noti che entrambi gli integrali hanno gli stessi limiti.

Costanti in integrazione

Quando una costante è in un integrale con una funzione, la costante può essere tolta. Inoltre, quando una costante c non è accompagnata da una funzione, il suo valore è c * x. Cioè,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\an8}DX = c ∫ a b f ( x ) d x {\an8}D x {\an8}DX=cint \an8}DX $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ e

Questo può essere fatto solo con una costante.

∫ a b c d d x = c ( b - a ) {\an8}(b - a ) \an8}(b-a)}(b - a)}(dx=c(b-a)}(dx=c(b-a)}(b - a)}(b - a) $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

La prova è ancora una volta la definizione di integrale.

Altro

Se a, b e c sono in ordine (cioè l'uno dopo l'altro sull'asse delle x), l'integrale di f(x) dal punto a al punto b più l'integrale di f(x) dal punto b al punto c è uguale all'integrale dal punto a al punto c. Cioè,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\an8}D x {\an8}Stile di visualizzazione \an8}in limiti _{a}^{b}f(x)\an8},dx+in limiti _{b}f(x)\an8}in limiti _{b}f(x)\an8},dx=in limiti _{a}{cf(x)\an8},dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ se sono in ordine. (Questo vale anche quando a, b, c non sono in ordine se definiamo ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\an8}D x {\an8}DX=-int \x22limits _{a}^{b}f(x)\x40}-int \x40}-int \x40}limits _{b}^{a}f(x)\x}-int $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ \x40}.

∫ a a a f ( x ) d x = 0 {\i\i}{a}^{a}f(x)\i\i}f(x)\i\i},dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Questo segue il teorema fondamentale del calcolo (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\an8}(x ) d x {\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x)\an8}(x). $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Ancora una volta, seguendo la FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\a6} {\a6}[F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]}[F(a)-F(b)]}[F(a)-F(b)]. $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Domande e risposte

D: Che cos'è un integrale?

R: Un integrale è lo spazio sotto il grafico di un'equazione, noto anche come "area sotto una curva". È l'inverso della derivata e fa parte di una branca della matematica chiamata calcolo.

D: Che aspetto ha il simbolo dell'integrazione?

R: Il simbolo dell'integrazione nel calcolo ha l'aspetto di una lettera "S" alta: ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

D: In che modo gli integrali sono collegati alle derivate?

R: Gli integrali e le derivate sono collegati dal teorema fondamentale del calcolo, che afferma che un integrale può essere invertito da una derivata, in modo simile a come un'addizione può essere invertita da una sottrazione.

D: Quando si può usare l'integrazione?

R: L'integrazione può essere utilizzata quando si cerca di moltiplicare le unità in un problema o quando si trova il volume di un solido. Aiuta a sommare fette bidimensionali fino ad ottenere una larghezza, dando all'oggetto tre dimensioni e il suo volume.

D: In che modo l'integrazione è simile alla somma?

R: L'integrazione è simile alla sommatoria in quanto somma molti piccoli elementi, ma con l'integrazione dobbiamo aggiungere anche tutti i decimali e le frazioni in mezzo.

D: Cosa significa somma di Riemann?

R: Una somma di Riemann si riferisce all'aggiunta di piccole fette del grafico del tasso, fino a quando non si sommano per formare un'equazione intera.