Momento d'inerzia polare

Nota: Diverse discipline usano il termine momento d'inerzia per riferirsi a momenti diversi. In fisica, il momento d'inerzia è strettamente il secondo momento di massa rispetto alla distanza da un asse, che caratterizza l'accelerazione angolare di un oggetto a causa di una coppia applicata. In ingegneria (specialmente meccanica e civile), il momento d'inerzia si riferisce comunemente al secondo momento dell'area. Nella lettura del momento d'inerzia polare fare attenzione a verificare che si riferisca al "secondo momento d'inerzia polare dell'area" e non al momento d'inerzia. Il secondo momento d'inerzia polare dell'area avrà unità di lunghezza alla quarta potenza (e.g. m 4^{4}} $m^{4}$ o i in 4^{4}} $in^{4}$ ), mentre il momento d'inerzia è la massa per la lunghezza al quadrato (e.g g ∗ m 2^m^{2}} $kg*m^{2}$ o l b ∗ i in 2^displaystyle lb*in^{2}}. $lb*in^{2}$ ).

Il secondo momento polare dell'area (detto anche "momento d'inerzia polare") è una misura della capacità di un oggetto di resistere alla torsione in funzione della sua forma. È un aspetto del secondo momento di area collegato attraverso il teorema dell'asse perpendicolare in cui il secondo momento di area planare utilizza la forma della sezione trasversale di un raggio per descrivere la sua resistenza alla deformazione (flessione) quando è sottoposto a una forza applicata in un piano parallelo al suo asse neutro, il secondo momento di area polare utilizza la forma della sezione trasversale di un raggio per descrivere la sua resistenza alla deformazione (torsione) quando un momento (coppia) è applicato in un piano perpendicolare all'asse neutro del raggio. Mentre il secondo momento planare dell'area è più spesso indicato dalla lettera, I z z , il secondo momento polare dell'area è più spesso indicato dall'uno o dall'altro. ... $I_{z}$ o la lettera, J {\i} ... $J$ nei libri di testo di ingegneria.

I valori calcolati per il secondo momento polare dell'area sono più spesso utilizzati descrivono la resistenza alla torsione di un albero cilindrico solido o cavo, come nell'asse o nell'albero motore di un veicolo. Se applicati a travi o alberi non cilindrici, i calcoli per il secondo momento polare di area diventano errati a causa della deformazione dell'albero/trave. In questi casi, si dovrebbe usare una costante di torsione, dove una costante correzionale viene aggiunta al calcolo del valore.

Il secondo momento polare dell'area porta le unità di lunghezza alla quarta potenza ( L 4^{4}} $L^{4}$ ); metri alla quarta potenza ( m 4^{4} ) nel sistema di unità metriche, e pollici alla quarta potenza ( i n 4^{4} $m^{4}$ $in^{4}$ ) nel sistema di unità imperiali. La formula matematica per il calcolo diretto è data come un integrale multiplo su un'area di una forma, R $R$ , ad una distanza ρ \displaystyle \rho \rho \rho \rho \rho $\rho$ da un asse arbitrario O {\fscx130\fscy130\frx40} $O$ .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\a6}}}DA $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$ .

Nella forma più semplice, il secondo momento polare dell'area è la somma dei due secondi momenti planari dell'area, I x x $I_{x}$ e I y. $I_{y}$ . Usando il teorema di Pitagora, la distanza dall'asse O {\fscx130\fscy130\fscy130\frx40}. $O$ , ρ {\an8}(*displaystyle \an8}(*displaystyle in inglese) $\rho$ può essere suddiviso nei suoi $y$ componenti x $x$ e y, e il cambiamento di area, d A, dA, può essere suddiviso nei suoi componenti x e y, e il cambiamento di area, d A, dA $dA$ $dy$ ..., rotto nei suoi $y$ componenti x $x$ e y, d x e d y, $dx$ x e d y...

Date le due formule per i secondi momenti planari di area:

I x = ∬ R x 2 d x d x d y {\an8}I_{x}==Iint \iint \i}limits _{R}x^{2}dxdy} $I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy$ e I y = ∬ R y 2 d x d y {\a6}}}I_y_y_y_y_y_y_y_y_y_y_y_y_y_y_y_y_y_y $I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

La relazione con il secondo momento polare dell'area può essere mostrata come:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\fscx130\fscy130\frx40}==illimits _{R}\Rho ^{2}dA $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\fscx130\fscy130\frx40}(x^{2}+y^{2})dxdy) $J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy$

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\an8}===limiti \iint \i limiti _{R}x^{2}dxdy+iint \i limiti _{R}y^{2}dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

∴ J = I x + I y {\a6}}}[J=I_{x}+I_{y] $\therefore J=I_{x}+I_{y}$

In sostanza, con l'aumento della grandezza del secondo momento polare dell'area (cioè la forma della sezione trasversale di un grande oggetto), sarà necessaria una maggiore coppia per causare una deflessione torsionale dell'oggetto. Tuttavia, si deve notare che ciò non ha alcuna influenza sulla rigidità torsionale fornita ad un oggetto dai suoi materiali costitutivi; il secondo momento polare dell'area è semplicemente la rigidità fornita ad un oggetto dalla sua sola forma. La rigidità torsionale fornita dalle caratteristiche del materiale è nota come modulo di taglio, G {\displaystyle G} $G$ . Collegando questi due componenti della rigidità, si può calcolare l'angolo di torsione di un raggio, θ {\i} {\i}}displaystyle \theta $\theta$ , utilizzando:

θ = T l J G \displaystyle \displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}} $\theta ={\frac {Tl}{JG}}$

Dove T $T$ è il momento applicato (coppia) e l $l$ è la lunghezza del fascio. Come mostrato, coppie più elevate e lunghezze del fascio portano a maggiori deflessioni angolari, dove valori più alti per il secondo momento polare dell'area, J {\displaystyle J} $J$ , e il modulo di taglio materiale, G {\an8} $G$ riduce il potenziale di deviazioni angolari.

Uno schema che mostra come il secondo momento polare dell'area ("Momento d'inerzia polare") viene calcolato per una forma arbitraria dell'area, R, intorno ad un asse o, dove ρ è la distanza radiale dall'elemento dA.

Pagine correlate

Momento (fisica)
Secondo momento di area
Elenco dei secondi momenti di area per le forme standard
Modulo di taglio

Domande e risposte

D: Che cos'è il momento d'inerzia in fisica?

R: In fisica, il momento di inerzia è strettamente il secondo momento della massa rispetto alla distanza da un asse, che caratterizza l'accelerazione angolare di un oggetto a causa di una coppia applicata.

D: A cosa si riferisce il secondo momento polare dell'area in ingegneria?

R: In ingegneria (soprattutto meccanica e civile), il momento d'inerzia si riferisce comunemente al secondo momento dell'area. Quando si legge il momento d'inerzia polare, bisogna verificare che si riferisca al "secondo momento polare dell'area" e non al momento d'inerzia. Il secondo momento polare dell'area avrà unità di lunghezza alla quarta potenza (ad esempio, m^4 o in^4).

D: Come si calcola il secondo momento polare dell'area?

R: La formula matematica per il calcolo diretto è data da un integrale multiplo sull'area di una forma, R, a una distanza ρ da un asse arbitrario O. J_O=∬Rρ2dA. Nella forma più semplice, la seconda polare