Numeri quadrati (quadrati perfetti): definizione, esempi e proprietà

Scopri i numeri quadrati (quadrati perfetti): definizione chiara, esempi, proprietà e come riconoscerli tramite radice quadrata con spiegazioni ed esempi pratici.

Autore: Leandro Alegsa

Un numero quadrato, talvolta chiamato anche quadrato perfetto, è il risultato di un numero intero moltiplicato per se stesso. 1, 4, 9, 16 e 25 sono i primi cinque numeri quadrati. In una formula, il quadrato di un numero n è indicato con n2 (esponenziazione), solitamente pronunciato come "n al quadrato". Il nome numero quadrato deriva dal nome della forma; vedi sotto.

I numeri quadrati sono non negativi. Un altro modo per dire che un numero (non negativo) è un numero quadrato, è che la sua radice quadrata è di nuovo un intero. Per esempio, √9 = 3, quindi 9 è un numero quadrato.

Esempi

I primi numeri quadrati (quadrati perfetti) sono:

  • 0 = 0²
  • 1 = 1²
  • 4 = 2²
  • 9 = 3²
  • 16 = 4²
  • 25 = 5²
  • 36 = 6², 49 = 7², 64 = 8², 81 = 9², 100 = 10²

In generale, per ogni intero non negativo n, il numero n² è un quadrato perfetto.

Interpretazione geometrica

Il termine "quadrato" deriva dalla rappresentazione geometrica: un quadrato di lato intero n contiene esattamente n² unità quadrate. Questa immagine aiuta a visualizzare molte proprietà, per esempio la differenza tra quadrati consecutivi (vedi sotto).

Proprietà fondamentali

  • Sorgente degli interi non negativi: tutti i quadrati sono ≥ 0.
  • Radice intera: un numero non negativo è quadrato se e solo se la sua radice quadrata è un intero.
  • Fattorizzazione: un numero intero positivo è un quadrato perfetto se, nella sua scomposizione in fattori primi, tutti gli esponenti sono pari. Ad esempio 900 = 2² · 3² · 5² è un quadrato (30²).
  • Somma di numeri dispari: il quadrato n² è uguale alla somma dei primi n numeri dispari: n² = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1).
  • Differenza tra quadrati consecutivi: (n+1)² − n² = 2n + 1, cioè la differenza è sempre un numero dispari crescente.
  • Prodotto di due numeri con stessa somma e differenza: la formula di fattorizzazione n² − m² = (n − m)(n + m) è utile per risolvere equazioni e semplificare espressioni.

Proprietà aritmetiche modulari

  • Ultima cifra in base 10: i quadrati finiti in base 10 possono terminare solo con le cifre 0, 1, 4, 5, 6 o 9. Le cifre 2, 3, 7 e 8 non sono possibili come ultima cifra di un quadrato.
  • Modulo 4: ogni quadrato è congruo a 0 o 1 modulo 4.
  • Modulo 3: ogni quadrato è congruo a 0 o 1 modulo 3.
  • Modulo 8: gli interi dispari al quadrato sono congrui a 1 modulo 8.

Caratterizzazioni e test pratici

  • Test della radice: calcolare la radice quadrata e verificare se è intera (per numeri piccoli o medi).
  • Usare la fattorizzazione: scomporre il numero in fattori primi; se tutti gli esponenti sono pari allora il numero è un quadrato perfetto.
  • Osservazioni rapide: se l'ultima cifra è 2, 3, 7 o 8 (base 10) il numero non è un quadrato; se è pari ma non multiplo di 4, non può essere quadrato.

Relazioni con altre successioni e problemi

  • Numeri triangolari e quadrati: esistono numeri che sono contemporaneamente triangolari e quadrati (es. 1, 36, 1225...).
  • Equazioni diofantee: spesso i quadrati appaiono in equazioni come Pell o nel problema di Fermat per gli esponenti 2.
  • Quadrati consecutivi: non esistono due quadrati perfetti consecutivi oltre a 0 e 1 (la differenza tra quadrati consecutivi è ≥ 3 per n ≥ 2).

Curiosità

  • La somma dei primi n quadrati ha una formula chiusa: 1² + 2² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6.
  • I quadrati occupano un ruolo fondamentale in geometria, algebra e teoria dei numeri e sono alla base di molti algoritmi e dimostrazioni.

Se vuoi, posso fornire esempi numerici più estesi (es. quadrati fino a 1000), dimostrazioni dettagliate di alcune proprietà (ad esempio la somma dei primi n dispari = n² o la condizione sugli esponenti primi), oppure esercizi con soluzioni per esercitarti.

Esempi

I quadrati (sequenza A000290 nell'OEIS) più piccoli di 702 sono:

02 =0

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16

52 = 25

62 = 36

72 = 49

82 = 64

92 = 81

102 =100

112 = 121

122 = 144

132 = 169

142 = 196

152 = 225

162 = 256

172 = 289

182 = 324

192 = 361

202 = 400

212 = 441

222 = 484

232 = 529

242 = 576

252 = 625

262 = 676

272 = 729

282 = 784

292 = 841

302 = 900

312 = 961

322 = 1024

332 = 1089

342 = 1156

352 = 1225

362 = 1296

372 = 1369

382 = 1444

392 = 1521

402 = 1600

412 = 1681

422 = 1764

432 = 1849

442 = 1936

452 = 2025

462 = 2116

472 = 2209

482 = 2304

492 = 2401

502 = 2500

512 = 2601

522 = 2704

532 = 2809

542 = 2916

552 = 3025

562 = 3136

572 = 3249

582 = 3364

592 = 3481

602 = 3600

612 = 3721

622 = 3844

632 = 3969

642 = 4096

652 = 4225

662 = 4356

672 = 4489

682 = 4624

692 = 4761

Ci sono infiniti numeri quadrati, come ci sono infiniti numeri naturali.

Proprietà

Il numero m è un numero quadrato se e solo se si può comporre un quadrato di m quadrati uguali (minori):

m = 12 = 1

m = 22 = 4

m = 32 = 9

m = 42 = 16

m = 52 = 25

Nota: gli spazi bianchi tra i quadrati servono solo per migliorare la percezione visiva.
Non ci devono essere spazi vuoti tra i quadrati reali.

Un quadrato con lato di lunghezza n ha area n2.

L'espressione per l'ennesimo numero quadrato è n2. Questo è anche uguale alla somma dei primi n numeri dispari come si può vedere nelle immagini precedenti, dove un quadrato risulta dal precedente aggiungendo un numero dispari di punti (mostrato in magenta). La formula segue:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {displaystyle n^{2}=somma _{k=1}^{n}(2k-1). } {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}

Così, per esempio, 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Un numero quadrato può finire solo con le cifre 0, 1, 4, 6, 9 o 25 in base 10, come segue:

  1. Se l'ultima cifra di un numero è 0, il suo quadrato termina con un numero pari di 0 (quindi almeno 00) e anche le cifre che precedono gli 0 finali devono formare un quadrato.
  2. Se l'ultima cifra di un numero è 1 o 9, il suo quadrato termina con 1 e il numero formato dalle cifre precedenti deve essere divisibile per quattro.
  3. Se l'ultima cifra di un numero è 2 o 8, il suo quadrato finisce in 4 e la cifra precedente deve essere pari.
  4. Se l'ultima cifra di un numero è 3 o 7, il suo quadrato finisce in 9 e il numero formato dalle cifre precedenti deve essere divisibile per quattro.
  5. Se l'ultima cifra di un numero è 4 o 6, il suo quadrato finisce in 6 e la cifra precedente deve essere dispari.
  6. Se l'ultima cifra di un numero è 5, il suo quadrato termina con 25 e le cifre precedenti devono essere 0, 2, 06 o 56.

Un numero quadrato non può essere un numero perfetto.

Tutte le quarte potenze, le seste potenze, le ottave potenze e così via sono quadrati perfetti.

Casi speciali

  • Se il numero è della forma m5 dove m rappresenta le cifre precedenti, il suo quadrato è n25 dove n = m × (m + 1) e rappresenta le cifre prima di 25. Per esempio il quadrato di 65 può essere calcolato da n = 6 × (6 + 1) = 42 che rende il quadrato uguale a 4225.
  • Se il numero è della forma m0 dove m rappresenta le cifre precedenti, il suo quadrato è n00 dove n = m2. Per esempio il quadrato di 70 è 4900.
  • Se il numero ha due cifre ed è della forma 5m dove m rappresenta la cifra delle unità, il suo quadrato è AABB dove AA = 25 + m e BB = m2. Esempio: Per calcolare il quadrato di 57, 25 + 7 = 32 e 72 = 49, cioè 572 = 3249.

Numeri quadrati pari e dispari

I quadrati dei numeri pari sono pari (e infatti divisibili per 4), poiché (2n)2 = 4n2.

I quadrati dei numeri dispari sono dispari, poiché (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.

Ne segue che le radici quadrate dei numeri quadrati pari sono pari, e le radici quadrate dei numeri quadrati dispari sono dispari.

Poiché tutti i numeri quadrati pari sono divisibili per 4, i numeri pari della forma 4n + 2 non sono numeri quadrati.

Poiché tutti i numeri quadrati dispari sono della forma 4n + 1, i numeri dispari della forma 4n + 3 non sono numeri quadrati.

I quadrati dei numeri dispari sono della forma 8n + 1, poiché (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 e n(n + 1) è un numero pari.



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