Numero quadrato
Un numero quadrato, talvolta chiamato anche quadrato perfetto, è il risultato di un numero intero moltiplicato per se stesso. 1, 4, 9, 16 e 25 sono i primi cinque numeri quadrati. In una formula, il quadrato di un numero n è indicato con n2 (esponenziazione), solitamente pronunciato come "n al quadrato". Il nome numero quadrato deriva dal nome della forma; vedi sotto.
I numeri quadrati sono non negativi. Un altro modo per dire che un numero (non negativo) è un numero quadrato, è che la sua radice quadrata è di nuovo un intero. Per esempio, √9 = 3, quindi 9 è un numero quadrato.
Esempi
I quadrati (sequenza A000290 nell'OEIS) più piccoli di 702 sono:
102 =100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
602 = 3600
612 = 3721
622 = 3844
632 = 3969
642 = 4096
652 = 4225
662 = 4356
672 = 4489
682 = 4624
692 = 4761
Ci sono infiniti numeri quadrati, come ci sono infiniti numeri naturali.
Proprietà
Il numero m è un numero quadrato se e solo se si può comporre un quadrato di m quadrati uguali (minori):
| m = 12 = 1 |
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| m = 22 = 4 |
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| m = 32 = 9 |
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| m = 42 = 16 |
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| m = 52 = 25 |
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| Nota: gli spazi bianchi tra i quadrati servono solo per migliorare la percezione visiva. | |
Un quadrato con lato di lunghezza n ha area n2.
L'espressione per l'ennesimo numero quadrato è n2. Questo è anche uguale alla somma dei primi n numeri dispari come si può vedere nelle immagini precedenti, dove un quadrato risulta dal precedente aggiungendo un numero dispari di punti (mostrato in magenta). La formula segue:
n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {displaystyle n^{2}=somma _{k=1}^{n}(2k-1). } 
Così, per esempio, 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Un numero quadrato può finire solo con le cifre 0, 1, 4, 6, 9 o 25 in base 10, come segue:
- Se l'ultima cifra di un numero è 0, il suo quadrato termina con un numero pari di 0 (quindi almeno 00) e anche le cifre che precedono gli 0 finali devono formare un quadrato.
- Se l'ultima cifra di un numero è 1 o 9, il suo quadrato termina con 1 e il numero formato dalle cifre precedenti deve essere divisibile per quattro.
- Se l'ultima cifra di un numero è 2 o 8, il suo quadrato finisce in 4 e la cifra precedente deve essere pari.
- Se l'ultima cifra di un numero è 3 o 7, il suo quadrato finisce in 9 e il numero formato dalle cifre precedenti deve essere divisibile per quattro.
- Se l'ultima cifra di un numero è 4 o 6, il suo quadrato finisce in 6 e la cifra precedente deve essere dispari.
- Se l'ultima cifra di un numero è 5, il suo quadrato termina con 25 e le cifre precedenti devono essere 0, 2, 06 o 56.
Un numero quadrato non può essere un numero perfetto.
Tutte le quarte potenze, le seste potenze, le ottave potenze e così via sono quadrati perfetti.
Casi speciali
- Se il numero è della forma m5 dove m rappresenta le cifre precedenti, il suo quadrato è n25 dove n = m × (m + 1) e rappresenta le cifre prima di 25. Per esempio il quadrato di 65 può essere calcolato da n = 6 × (6 + 1) = 42 che rende il quadrato uguale a 4225.
- Se il numero è della forma m0 dove m rappresenta le cifre precedenti, il suo quadrato è n00 dove n = m2. Per esempio il quadrato di 70 è 4900.
- Se il numero ha due cifre ed è della forma 5m dove m rappresenta la cifra delle unità, il suo quadrato è AABB dove AA = 25 + m e BB = m2. Esempio: Per calcolare il quadrato di 57, 25 + 7 = 32 e 72 = 49, cioè 572 = 3249.
Numeri quadrati pari e dispari
I quadrati dei numeri pari sono pari (e infatti divisibili per 4), poiché (2n)2 = 4n2.
I quadrati dei numeri dispari sono dispari, poiché (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
Ne segue che le radici quadrate dei numeri quadrati pari sono pari, e le radici quadrate dei numeri quadrati dispari sono dispari.
Poiché tutti i numeri quadrati pari sono divisibili per 4, i numeri pari della forma 4n + 2 non sono numeri quadrati.
Poiché tutti i numeri quadrati dispari sono della forma 4n + 1, i numeri dispari della forma 4n + 3 non sono numeri quadrati.
I quadrati dei numeri dispari sono della forma 8n + 1, poiché (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 e n(n + 1) è un numero pari.
