Cilindro

Un cilindro è una delle forme geometriche curve più elementari, con la superficie formata dai punti ad una distanza fissa da un dato segmento di linea, noto come l'asse del cilindro. La forma può essere pensata come un prisma circolare. Sia la superficie che la forma solida creata all'interno possono essere chiamate cilindri. L'area della superficie e il volume di un cilindro sono noti fin dai tempi antichi.

In geometria differenziale, un cilindro è definito in modo più ampio come qualsiasi superficie rigata che è attraversata da una famiglia di linee parallele di un solo parametro. Un cilindro la cui sezione trasversale è un'ellisse, una parabola o un'iperbole è chiamato rispettivamente cilindro ellittico, cilindro parabolico o cilindro iperbolico.

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Un cilindro circolare destro

Uso comune

Nell'uso comune per cilindro si intende una sezione finita di un cilindro circolare retto, cioè il cilindro con le linee generatrici perpendicolari alle basi, con le estremità chiuse a formare due superfici circolari, come nella figura (a destra). Se il cilindro ha un raggio r e una lunghezza (altezza) h, allora il suo volume è dato da:

V = πr2h

e la sua superficie è:

  • l'area della parte superiore (πr2) +
  • l'area del fondo (πr2) +
  • l'area del lato (2πrh).

Quindi, senza la parte superiore o inferiore (area laterale), la superficie è:

A = 2πrh.

Con la parte superiore e inferiore, la superficie è:

A = 2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h).

Per un dato volume, il cilindro con la superficie più piccola ha h = 2r. Per una data superficie, il cilindro con il volume più grande ha h = 2r, cioè il cilindro entra in un cubo (altezza = diametro).

Volume

Avere un cilindro circolare retto con un'altezza h unità e una base di raggio r unità con gli assi delle coordinate scelti in modo che l'origine sia al centro di una base e l'altezza sia misurata lungo l'asse x positivo. Una sezione piana ad una distanza di x unità dall'origine ha un'area di A(x) unità quadrate dove

A ( x ) = π r 2 {\displaystyle A(x)=\pi r^{2} {\displaystyle A(x)=\pi r^{2}}

o

A ( y ) = π r 2 {\displaystyle A(y)=\pi r^{2} {\displaystyle A(y)=\pi r^{2}}

Un elemento di volume, è un cilindro retto di area di base Awi unità quadrate e uno spessore di Δix unità. Quindi se V unità cubiche è il volume del cilindro circolare destro, per le somme di Riemann,

V o l u m e d i c i l i n d e r = lim | | Δ → 0 | | ∑ i = 1 n A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Volume\ di};cilindro} =\lim _|||Delta \a 0||}sum _{i=1}^{n} A(w_{i})\Delta _{i}x} {\displaystyle \mathrm {Volume\;of\;cylinder} =\lim _{||\Delta \to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫ 0 h A ( y ) 2 d y {displaystyle ={int _{0}^{h}A(y)^{2},dy} {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫ 0 h π r 2 d y {\displaystyle =int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy} {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \i \i \i \i \i \i \i \i \i \i \i \i {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Usando le coordinate cilindriche, il volume può essere calcolato mediante integrazione su

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\displaystyle ={0}^{h}{int _{0}^{2\pi}{int _{0}^{r}s,\s},ds\phi \z} {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \i \i \i \i \i \i \i \i \i \i \i \i {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Sezione cilindrica

Le sezioni cilindriche sono le intersezioni dei cilindri con i piani. Per un cilindro circolare destro, ci sono quattro possibilità. Un piano tangente al cilindro, incontra il cilindro in una sola linea retta. Spostato parallelamente a se stesso, il piano o non interseca il cilindro o lo interseca in due linee parallele. Tutti gli altri piani intersecano il cilindro in un'ellisse o, quando sono perpendicolari all'asse del cilindro, in un cerchio.

Altri tipi di cilindri

Un cilindro ellittico, o cilindroide, è una superficie quadrica, con la seguente equazione in coordinate cartesiane:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1. {\displaystyle \sinistra({frac {x}{a}}destra)^{2}+sinistra({frac {y}{b}}destra)^{2}=1.} {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}

Questa equazione è per un cilindro ellittico, una generalizzazione del cilindro circolare ordinario (a = b). Ancora più generale è il cilindro generalizzato: la sezione trasversale può essere qualsiasi curva.

Il cilindro è una quadrica degenere perché almeno una delle coordinate (in questo caso z) non appare nell'equazione.

Un cilindro obliquo ha le superfici superiore e inferiore spostate l'una dall'altra.

Ci sono altri tipi di cilindri più insoliti. Questi sono i cilindri ellittici immaginari:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = - 1 {\displaystyle \left({frac {x}{a}}destra)^{2}+\left({frac {y}{b}}destra)^{2}=-1} {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1}

il cilindro iperbolico:

( x a ) 2 - ( y b ) 2 = 1 {displaystyle \sinistra({frac {x}{a}}destra)^{2}- {frac {y}{b}}destra)^{2}=1} {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}

e il cilindro parabolico:

x 2 + 2 a y = 0. {displaystyle x^{2}+2ay=0,\} {\displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}

Un cilindro ellitticoZoom
Un cilindro ellittico

In geometria proiettiva, un cilindro è semplicemente un cono il cui apice è all'infinito, che corrisponde visivamente a un cilindro in prospettiva che appare come un cono verso il cielo.Zoom
In geometria proiettiva, un cilindro è semplicemente un cono il cui apice è all'infinito, che corrisponde visivamente a un cilindro in prospettiva che appare come un cono verso il cielo.

Geometria proiettiva

In geometria proiettiva, un cilindro è semplicemente un cono il cui vertice è all'infinito.

Questo è utile nella definizione delle coniche degenerate, che richiedono di considerare le coniche cilindriche.

Domande e risposte

D: Che cos'è un cilindro?


R: Un cilindro è una forma geometrica tridimensionale con la superficie formata da punti ad una distanza fissa da un determinato segmento di linea, noto come asse del cilindro. Si può pensare a un prisma circolare e sia la superficie che la forma solida creata all'interno possono essere chiamate cilindro.

D: Da quanto tempo si conoscono l'area superficiale e il volume dei cilindri?


R: L'area superficiale e il volume dei cilindri sono noti fin dall'antichità.

D: Cosa sono i cilindri ellittici, parabolici e iperbolici?


R: I cilindri ellittici, parabolici e iperbolici sono cilindri la cui sezione trasversale è rispettivamente un'ellisse, una parabola o un'iperbole.

D: Come viene definito un cilindro in geometria differenziale?


R: In geometria differenziale, un cilindro è definito in modo più ampio come una superficie governata che è attraversata da una famiglia di rette parallele di un parametro.

D: Cosa significa che qualcosa è "governato"?


R: Essere "governato" significa che ha delle linee rette disegnate su di esso in un modo o nell'altro.

D: Esiste un solo tipo di cilindro?


R: No, esistono molti tipi diversi di cilindri, come i cilindri ellittici, parabolici e iperbolici, che hanno tutti sezioni trasversali diverse.

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