Cilindro: definizione, proprietà, storia e applicazioni

Nell'uso comune per cilindro si intende una sezione finita di un cilindro circolare retto, cioè il cilindro con le linee generatrici perpendicolari alle basi, con le estremità chiuse a formare due superfici circolari, come nella figura (a destra). Se il cilindro ha un raggio r e una lunghezza (altezza) h, allora il suo volume è dato da:

V = πr2h

e la sua superficie è:

• l'area della parte superiore (πr2) +
• l'area del fondo (πr2) +
• l'area del lato (2πrh).

Quindi, senza la parte superiore o inferiore (area laterale), la superficie è:

A = 2πrh.

Con la parte superiore e inferiore, la superficie è:

A = 2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h).

Per un dato volume, il cilindro con la superficie più piccola ha h = 2r. Per una data superficie, il cilindro con il volume più grande ha h = 2r, cioè il cilindro entra in un cubo (altezza = diametro).

Avere un cilindro circolare retto con un'altezza h unità e una base di raggio r unità con gli assi delle coordinate scelti in modo che l'origine sia al centro di una base e l'altezza sia misurata lungo l'asse x positivo. Una sezione piana ad una distanza di x unità dall'origine ha un'area di A(x) unità quadrate dove

A ( x ) = π r 2 {\displaystyle A(x)=\pi r^{2}

o

A ( y ) = π r 2 {\displaystyle A(y)=\pi r^{2}

Un elemento di volume, è un cilindro retto di area di base Awi unità quadrate e uno spessore di Δix unità. Quindi se V unità cubiche è il volume del cilindro circolare destro, per le somme di Riemann,

V o l u m e d i c i l i n d e r = lim | | Δ → 0 | | ∑ i = 1 n A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Volume\ di};cilindro} =\lim _|||Delta \a 0||}sum _{i=1}^{n} A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫ 0 h A ( y ) 2 d y {displaystyle ={int _{0}^{h}A(y)^{2},dy}

= ∫ 0 h π r 2 d y {\displaystyle =int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \i \i \i \i \i \i \i \i \i \i \i \i

Usando le coordinate cilindriche, il volume può essere calcolato mediante integrazione su

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\displaystyle ={0}^{h}{int _{0}^{2\pi}{int _{0}^{r}s,\s},ds\phi \z}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \i \i \i \i \i \i \i \i \i \i \i \i

Le sezioni cilindriche sono le intersezioni dei cilindri con i piani. Per un cilindro circolare destro, ci sono quattro possibilità. Un piano tangente al cilindro, incontra il cilindro in una sola linea retta. Spostato parallelamente a se stesso, il piano o non interseca il cilindro o lo interseca in due linee parallele. Tutti gli altri piani intersecano il cilindro in un'ellisse o, quando sono perpendicolari all'asse del cilindro, in un cerchio.

Un cilindro ellittico, o cilindroide, è una superficie quadrica, con la seguente equazione in coordinate cartesiane:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1. {\displaystyle \sinistra({frac {x}{a}}destra)^{2}+sinistra({frac {y}{b}}destra)^{2}=1.}

Questa equazione è per un cilindro ellittico, una generalizzazione del cilindro circolare ordinario (a = b). Ancora più generale è il cilindro generalizzato: la sezione trasversale può essere qualsiasi curva.

Il cilindro è una quadrica degenere perché almeno una delle coordinate (in questo caso z) non appare nell'equazione.

Un cilindro obliquo ha le superfici superiore e inferiore spostate l'una dall'altra.

Ci sono altri tipi di cilindri più insoliti. Questi sono i cilindri ellittici immaginari:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = - 1 {\displaystyle \left({frac {x}{a}}destra)^{2}+\left({frac {y}{b}}destra)^{2}=-1}

il cilindro iperbolico:

( x a ) 2 - ( y b ) 2 = 1 {displaystyle \sinistra({frac {x}{a}}destra)^{2}- {frac {y}{b}}destra)^{2}=1}

e il cilindro parabolico:

x 2 + 2 a y = 0. {displaystyle x^{2}+2ay=0,\}

In geometria proiettiva, un cilindro è semplicemente un cono il cui vertice è all'infinito.

Questo è utile nella definizione delle coniche degenerate, che richiedono di considerare le coniche cilindriche.