Equazione algebrica
In matematica, un'equazione algebrica, detta anche equazione polinomiale su un dato campo è un'equazione della forma
P = Q {\displaystyle P=Q} 
dove P e Q sono polinomi su quel campo, e hanno una (univariata) o più di una (multivariata) variabile. Per esempio:
y 4 + x y 2 = x 3 3 3 - x y 2 + y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}}}----y^{2}-{\frac 
è un'equazione algebrica sui numeri razionali.
Due equazioni sono chiamate equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Ciò significa che tutte le soluzioni della seconda equazione devono essere anche soluzioni della prima e viceversa. L'equazione P = Q {\displaystyle P=Q} è equivalente con P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
. Quindi lo studio delle equazioni algebriche è equivalente allo studio dei polinomi.
Se un'equazione algebrica è al di sopra dei razionali, può sempre essere convertita in un'equazione equivalente, dove tutti i coefficienti sono interi. Per esempio, nell'equazione sopra indicata, moltiplichiamo per 42 = 2-3-7 e raggruppiamo i termini nel primo membro. L'equazione viene convertita in
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Le soluzioni di un'equazione sono i valori delle variabili per le quali l'equazione è vera. Ma per le equazioni algebriche ci sono anche chiamate radici. Quando si risolve un'equazione, bisogna dire in quale set sono consentite le soluzioni. Per esempio, per un'equazione oltre i razionali, si possono trovare soluzioni nei numeri interi. Poi, l'equazione è un'equazione diotanica. Si possono anche cercare soluzioni nel campo dei numeri complessi. Si possono anche cercare soluzioni in numeri reali.
I matematici antichi volevano le soluzioni di equazioni univariate (cioè equazioni con una variabile) sotto forma di espressioni radicali, come x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}} 
per la soluzione positiva di x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}
. Gli antichi Egiziani sapevano come risolvere le equazioni di grado 2 (cioè equazioni in cui la potenza più alta della variabile è 2) in questo modo. Durante il Rinascimento, Gerolamo Cardano risolse l'equazione del grado 3 e Lodovico Ferrari risolse l'equazione del grado 4. Infine Niels Henrik Abel dimostrò nel 1824 che l'equazione del grado 5 e le equazioni di grado superiore non possono essere sempre risolte usando i radicali. La teoria di Galois, che prende il nome da Évariste Galois, fu introdotta per dare dei criteri per decidere se un'equazione è risolvibile usando i radicali.
Domande e risposte
D: Che cos'è un'equazione algebrica?
R: Un'equazione algebrica è un'equazione della forma P = Q, dove P e Q sono polinomi su un determinato campo con una o più variabili.
D: Come possono due equazioni essere equivalenti?
R: Due equazioni sono considerate equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni, cioè tutte le soluzioni di una devono essere anche soluzioni dell'altra e viceversa.
D: Cosa significa risolvere un'equazione?
R: Risolvere un'equazione significa trovare i valori delle variabili che rendono vera l'equazione. Questi valori sono chiamati radici.
D: Le equazioni algebriche su numeri razionali possono sempre essere convertite in equazioni con coefficienti interi?
R: Sì, moltiplicando entrambi i lati per un numero come 42 = 2-3-7 e raggruppando i termini nel primo membro, qualsiasi equazione algebrica su numeri razionali può essere convertita in una con coefficienti interi.
D: Quando i matematici antichi volevano espressioni radicali per le equazioni univariate?
R: I matematici antichi volevano espressioni radicali (come x=1+√5/2) per le equazioni univariate (equazioni con una sola variabile) durante il periodo rinascimentale.
D: Chi ha risolto le equazioni di grado 3 e 4 in questo periodo?
R: Gerolamo Cardano risolse le equazioni di grado 3 e Lodovico Ferrari risolse le equazioni di grado 4 durante questo periodo.
D: Chi ha dimostrato che le equazioni di grado superiore non possono sempre essere risolte utilizzando i radicali?
R: Niels Henrik Abel dimostrò nel 1824 che le equazioni di grado superiore non possono sempre essere risolte utilizzando i radicali.
