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Divisione per zero

Autore: Leandro Alegsa

20-12-2020

In matematica, un numero non può essere diviso per zero. Osservare:

1. A ∗ B = C {\an8} A*B=C} $A*B=C$

Se B = 0, allora C = 0. Questo è vero. Ma:

2. A = C / B {\programmazione A=C/B} $A=C/B$

(dove B=0, quindi abbiamo appena diviso per zero)

Che è lo stesso di:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

Il problema è che la A di visualizzazione A $A$ potrebbe essere un numero qualsiasi. Funzionerebbe se A $A$ fosse 1 o se fosse 1.000.000.000. 0/0 è detto essere di "forma indeterminata" per questo motivo, perché non ha un singolo valore. I numeri della forma A/0, invece, dove A {\displaystyle A} $A$ non è 0, sono detti "indefiniti", o "indeterminati". Questo perché ogni tentativo di definirli si tradurrà in un valore di infinito, che di per sé è indefinito. Di solito quando due numeri sono uguali alla stessa cosa, sono uguali l'uno all'altro. Questo non è vero quando la cosa a cui sono entrambi uguali è 0/0. Ciò significa che le normali regole della matematica non funzionano quando il numero è diviso per zero.

Prove errate basate sulla divisione a zero

E' possibile mascherare un caso speciale di divisione per zero in un argomento algebrico. Questo può portare a prove non valide, come ad esempio 1=2, come nel seguito:

Con le seguenti ipotesi:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. Stile di visualizzazione 0 volte 1&=0 volte 2&=0. ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Quanto segue deve essere vero:

0 × 1 = 0 × 2. {\fscx130\fscy130\frx40}Stile di visualizzazione 0 \times 1=0\fscx130\fscy130\frx40}Volte 1=0\fscy2. $0\times 1=0\times 2.\,$

Dividere per zero dà:

0 0 0 × 1 = 0 0 × 2. $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Semplificare:

1 = 2. {\fscx130\fscy130\frx40}Displaystyle 1=2.\fscx130\fscy130\frx40}Ehi! $1=2.\,$

La fallacia è l'assunzione che dividere per 0 è un'operazione legittima con 0/0 = 1.

La maggior parte delle persone riconoscerebbe probabilmente la "prova" di cui sopra come errata, ma lo stesso argomento può essere presentato in un modo che rende più difficile individuare l'errore. Per esempio, se 1 è scritto come x, allora 0 può essere nascosto dietro x-x e 2 dietro x+x. La prova di cui sopra può quindi essere visualizzata come segue:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x - x ) ( x + x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\progetto{iniziato}(x-x)x=0\\\(x-x)(x+x)=0\fine{allineati}}}}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

quindi:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\a6}(x-x)x=(x-x)(x+x)(x+x).\a6},} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Dividere per x - x dà:

x = x + x {\fscx130\fscy130\frx40}Stile di visualizzazione x=x+x ^^,} $x=x+x\,$

e dividendo per x dà:

1 = 2. {\fscx130\fscy130\frx40}Displaystyle 1=2.\fscx130\fscy130\frx40}Ehi! $1=2.\,$

La "prova" di cui sopra non è corretta perché divide per zero quando divide per x-x, perché qualsiasi numero meno se stesso è zero.

Calcolo

Nel calcolo, le "forme indeterminate" di cui sopra derivano anche dalla sostituzione diretta durante la valutazione dei limiti.

Divisione a zero nei computer

Se un programma per computer cerca di dividere un numero intero per zero, il sistema operativo di solito lo rileva e arresta il programma. Di solito stampa un "messaggio di errore", o dà al programmatore consigli su come migliorare il programma^[]. La divisione per zero è un bug comune nella programmazione per computer. Dividendo i numeri a virgola mobile (decimali) per zero, di solito si ottiene o l'infinito o un valore speciale NaN (non un numero), a seconda di cosa viene diviso per zero.

Divisione per zero in geometria

In geometria 1 0 = ∞ . {\an8}{0}}=infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Questo infinito (infinito proiettivo) non è né un numero positivo né un numero negativo, così come lo zero non è né un numero positivo né un numero negativo

Domande e risposte

D: Qual è il risultato della divisione di un numero per zero?

R: Dividendo un numero per zero si ottiene una 'forma indefinita' o 'indeterminata', il che significa che non ha un unico valore.

D: Cosa significa 0/0?

R: 0/0 è detto di "forma indeterminata" perché non ha un valore singolo.

D: Cosa succede quando due numeri sono uguali alla stessa cosa, ma questa cosa è 0/0?

R: Le normali regole della matematica non funzionano quando il numero è diviso per zero, quindi i due numeri non sarebbero uguali tra loro.

D: È vero che qualsiasi tentativo di definire un numero della forma A/0 avrà come risultato un valore infinito?

R: Sì, qualsiasi tentativo di definire un numero della forma A/0 (dove A non è 0) avrà come risultato un valore di infinito, che di per sé è indefinito.

D: Come possiamo determinare se due numeri sono uguali tra loro?

R: Possiamo determinare se due numeri sono uguali tra loro vedendo se sono entrambi uguali alla stessa cosa. Di solito questo funziona, tuttavia non si applica quando entrambi i numeri sono uguali a 0/0.

D: Esiste un'eccezione per quando non possiamo dividere un numero per zero? R: Sì, in matematica non è possibile dividere un numero per zero.