Composizione delle funzioni
In matematica, la composizione delle funzioni è un modo per creare una nuova funzione a partire da altre due funzioni.
Se lasciamo che f sia una funzione da X a Y e g sia una funzione da Y a Z, allora diciamo che g composta con f è scritta come g ∘ f una funzione da X a Z (notate come di solito è scritta in modo opposto a come ci si aspetta che sia, come spiegheremo più avanti).
Il valore di f dato l'input x è scritto come f(x). Il valore di g ∘ f dato l'input x è scritto (g ∘ f)(x) ed è definito come g(f(x)) (il che significa che il nostro modo di scrivere g composto con f ha senso).
Ecco un altro esempio. Che f sia una funzione che raddoppia un numero (lo moltiplica per 2) e che g sia una funzione che sottrae 1 da un numero.
Queste sarebbero state scritte come:
f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} 
g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1} 
g composta con f sarebbe la funzione che raddoppia un numero e poi ne sottrae 1:
( g ∘ f ) ( x ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1} 
f composta con g sarebbe la funzione che sottrae 1 da un numero e poi lo raddoppia:
Proprietà
La composizione delle funzioni può essere dimostrata essere associativa, il che significa:
f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\programmazione f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h} 
La composizione delle funzioni non è in generale commutativa, il che significa che non è commutabile:
f ∘ g ≠ g ∘ f f {\displaystyle f\circ f\neq g\neq g\circ f} 
Questo si può vedere nel primo esempio dove (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 e (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.
Domande e risposte
D: Che cos'è la composizione di funzioni?
R: La composizione di funzioni è un modo per creare una nuova funzione da due altre funzioni attraverso un processo simile alla catena.
D: Come viene scritto il valore di g composto con f?
R: Il valore di g composto con f è scritto come (g ∘ f)(x), ed è definito come g(f(x)).
D: Quali sono alcuni esempi di funzioni?
R: Un esempio potrebbe essere una funzione che raddoppia un numero (lo moltiplica per 2) e un'altra che sottrae 1 da un numero.
D: Quale sarebbe un esempio di g composto con f?
R: Un esempio di g composto con f sarebbe la funzione che raddoppia un numero e poi lo sottrae a 1. Vale a dire (g ∘ f)(x)=2x-1.
D: Quale sarebbe un esempio di f composta con g?
R: Un esempio di f composta con g sarebbe la funzione che sottrae 1 da un numero e poi lo raddoppia; cioè (f ∘ g)(x)=2(x-1).
D: La composizione può essere generalizzata anche alle relazioni binarie?
R: Sì, la composizione può essere generalizzata anche alle relazioni binarie, dove talvolta viene rappresentata utilizzando lo stesso simbolo (come in R ∘ S).
