Numeri naturali
I numeri naturali sono i numeri che normalmente utilizziamo per il conteggio, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ecc. Alcuni dicono che anche lo 0 è un numero naturale.
Un altro nome per questi numeri sono i numeri positivi. Questi numeri a volte sono scritti come +1 per mostrare che sono diversi dai numeri negativi. Ma non tutti i numeri positivi sono naturali (per esempio 1 2 {\frac {1}{2}}} 
è positivo, ma non naturale).
Se 0 è chiamato numero naturale, allora i numeri naturali sono gli stessi dei numeri interi. Se 0 non è chiamato numero naturale, allora i numeri naturali sono gli stessi dei numeri di conteggio. Quindi se le parole "numeri naturali" non vengono usate, allora ci sarà meno confusione sul fatto che lo zero sia incluso o meno. Ma purtroppo, alcuni dicono che lo zero non è un numero intero, e alcuni dicono che i numeri interi possono essere negativi. Gli "interi positivi" e gli "interi non negativi" sono un altro modo per includere lo zero o escludere lo zero, ma solo se le persone conoscono queste parole.
Numeri negativi
I numeri negativi sono numeri inferiori a zero.
Un modo di pensare ai numeri negativi è quello di usare una linea numerica. Chiamiamo un punto su questa linea zero. Poi etichettiamo (scriviamo il nome di) ogni posizione sulla linea di quanto è a destra del punto zero, per esempio il punto uno è un centimetro a destra, il punto due è due centimetri a destra.
Ora pensate ad un punto che si trova un centimetro a sinistra del punto zero. Non possiamo chiamare questo punto uno, perché c'è già un punto chiamato uno. Chiamiamo quindi questo punto meno 1 (-1) (poiché è a un centimetro di distanza, ma nella direzione opposta).
Di seguito è riportato il disegno di una linea numerica.
Tutte le normali operazioni della matematica possono essere effettuate con numeri negativi:
Se si aggiunge un numero negativo ad un altro, è come togliere il numero positivo con gli stessi numeri. Per esempio, 5 + (-3) è uguale a 5 - 3, ed è uguale a 2.
Se tolgono un numero negativo ad un altro, questo equivale ad aggiungere il numero positivo con gli stessi numeri. Per esempio, 5 - (-3) è uguale a 5 + 3, ed è uguale a 8.
Se moltiplicano due numeri negativi insieme ottengono un numero positivo. Per esempio, -5 volte -3 è 15.
Se moltiplicano un numero negativo per un numero positivo, o moltiplicano un numero positivo per un numero negativo, ottengono un risultato negativo. Per esempio, 5 volte -3 è -15.
Come trovare la radice quadrata di un numero negativo è impossibile come negativo per negativo equivale a possitve. Noi simbolizziamo la radice quadrata di un numero negativo come i.
Integrali
Gli interi sono tutti i numeri naturali, tutti i loro opposti, e il numero zero. I numeri decimali e le frazioni non sono numeri interi.
Numeri razionali
I numeri razionali sono numeri che possono essere scritti come frazioni. Ciò significa che possono essere scritti come a diviso per b, dove i numeri a e b sono numeri interi, e b non è uguale a 0.
Alcuni numeri razionali, come 1/10, necessitano di un numero finito di cifre dopo il punto decimale per essere scritti in forma decimale. Il numero un decimo è scritto in forma decimale come 0,1. I numeri scritti con una forma decimale finita sono razionali. Alcuni numeri razionali, come l'1/11, hanno bisogno di un numero infinito di cifre dopo il punto decimale per scriverli in forma decimale. C'è uno schema che si ripete per le cifre che seguono la virgola decimale. Il numero uno undicesimo è scritto in forma decimale come 0,09090909090909 ... .
Una percentuale potrebbe essere definita un numero razionale, perché una percentuale come il 7% può essere scritta come la frazione 7/100. Può anche essere scritta come decimale 0,07. A volte, un rapporto è considerato un numero razionale.
Numeri irrazionali
I numeri irrazionali sono numeri che non possono essere scritti come frazioni, ma non hanno parti immaginarie (spiegate più avanti).
I numeri irrazionali si verificano spesso in geometria. Per esempio, se abbiamo un quadrato che ha lati di 1 metro, la distanza tra gli angoli opposti è la radice quadrata di due, che equivale a 1,414213 ... . Questo è un numero irrazionale. I matematici hanno dimostrato che la radice quadrata di ogni numero naturale è un numero intero o un numero irrazionale.
Un numero irrazionale ben noto è il pi greco. Questa è la circonferenza (distanza intorno) di un cerchio diviso per il suo diametro (distanza attraverso). Questo numero è lo stesso per ogni cerchio. Il numero pi greco è circa 3,1415926535 ... .
Un numero irrazionale non può essere scritto completamente in forma decimale. Avrebbe un numero infinito di cifre dopo il punto decimale. A differenza di 0,33333333 ..., queste cifre non si ripeterebbero per sempre.
Numeri reali
I numeri reali sono un nome per tutti i gruppi di numeri sopra elencati:
- I numeri razionali, compresi gli interi
- I numeri irrazionali
Questi sono tutti numeri che non implicano numeri immaginari.
Numeri immaginari
I numeri immaginari sono formati da numeri reali moltiplicati per il numero i. Questo numero è la radice quadrata di meno uno (-1).
Non c'è nessun numero nei numeri reali che quando è al quadrato fa il numero -1. Pertanto, i matematici hanno inventato un numero. Hanno chiamato questo numero i, o l'unità immaginaria.
I numeri immaginari operano secondo le stesse regole dei numeri reali:
- La somma di due numeri immaginari si trova estraendo (fattorizzando) l'i. Ad esempio, 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
- La differenza di due numeri immaginari si trova in modo simile. Ad esempio, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
- Quando si moltiplicano due numeri immaginari, ricordate che i × i (i2) è -1. Ad esempio, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.
I numeri immaginari sono stati chiamati immaginari perché quando sono stati trovati per la prima volta, molti matematici pensavano che non esistessero. La persona che scoprì i numeri immaginari fu Gerolamo Cardano nel 1500. Il primo a usare le parole numero immaginario fu René Descartes. I primi ad usare questi numeri furono Leonard Euler e CarlFriedrich Gauss. Entrambi vissero nel XVIII secolo.
Numeri complessi
I numeri complessi sono numeri che hanno due parti: una parte reale e una parte immaginaria. Ogni tipo di numero scritto sopra è anche un numero complesso.
I numeri complessi sono una forma più generale di numeri. I numeri complessi possono essere disegnati su un piano numerico. Questo è composto da una linea numerica reale e da una linea numerica immaginaria.
3i|_ |
|
| 2
i|_ . 2+2i | | | i|_ | | | | | | | | | | -2 -1 0 1 2 3 3 4 5 6 | -i|_ .
________________________________________
3-i | | .-2-2i -2i -2i|_ | | -3i|_ |
Tutta la matematica normale può essere fatta con numeri complessi:
- Per aggiungere due numeri complessi, aggiungere separatamente la parte reale e quella immaginaria. Ad esempio, (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
- Per sottrarre un numero complesso da un altro, sottrarre separatamente la parte reale e quella immaginaria. Ad esempio, (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.
Moltiplicare due numeri complessi è complicato. È più facile da descrivere in termini generali, con due numeri complessi a + bi e c + di.
( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) + ( a d + b c ) i {\proprio stile di visualizzazione (a+b\m{i} )\times (c+d\m{i} )=a\times c+a\times d\m{i} +b_mathrm {i} \i}- volte c+b\i\i}- volte c+b\i\i} \times d \times d\mathrm {i} =ac+ad\i} +bc \mattromathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\matthrm {i} } 
Ad esempio, (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.
Numeri trascendentali
Un numero reale o complesso è chiamato numero trascendentale se non può essere ottenuto come risultato di un'equazione algebrica con coefficienti interi.
a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0} 
Dimostrare che un certo numero è trascendentale può essere estremamente difficile. Ogni numero trascendentale è anche un numero irrazionale. I primi a vedere che c'erano numeri trascendentali sono stati Gottfried Wilhelm Leibniz e Leonhard Euler. Il primo a dimostrare la presenza di numeri trascendentali è stato Joseph Liouville. Egli lo fece nel 1844.
I numeri trascendentali ben noti:
- e
- π
- ea per algebra a ≠ 0
- 2 2 2 2^sqrt {\an8}}(*Stile di visualizzazione 2^sqrt)
