La prima persona che dimostrò il teorema fu Euclide. La prima dimostrazione dettagliata e corretta fu nelle Disquisitiones Arithmeticae di Carl Friedrich Gauß.
Alcune persone possono pensare che il teorema sia vero ovunque. Tuttavia, il teorema non è vero in sistemi numerici più generali, come i numeri interi algebrici. Questo fu menzionato per la prima volta da Ernst Kummer nel 1843, nel suo lavoro sull'ultimo teorema di Fermat. Per maggiori informazioni su questo: leggi teoria dei numeri algebrici.
La prova consiste in due parti: prima mostriamo che ogni numero può essere scritto come prodotto di numeri primi; poi mostriamo che se scriviamo un numero come prodotto di numeri primi per una seconda volta, allora le due liste di numeri primi devono essere le stesse.
Prima parte della prova
Mostriamo che se non tutti i numeri maggiori di 1 possono essere scritti come prodotto di numeri primi, finiamo in una specie di impossibilità. Quindi dopo questo concludiamo che deve essere vero che ogni numero può essere scritto come prodotto di numeri primi.
Quindi, ora vediamo cosa succede quando qualcuno dice di conoscere un numero intero positivo, maggiore di 1, che non può essere scritto come prodotto di numeri primi. In questo caso gli chiediamo di citare tutti i numeri, maggiori di 1, che non possono essere scritti come prodotto di primi. Uno di questi numeri deve essere il più piccolo: chiamiamolo n. Naturalmente, questo numero n non può essere 1. Inoltre, non può essere un numero primo, perché un numero primo è un "prodotto" di un solo primo: se stesso. Quindi deve essere un prodotto di numeri. Quindi -
n = ab
dove sia a che b sono numeri interi positivi che sono ovviamente più piccoli di n. Ma: n era il più piccolo numero che non può essere scritto come prodotto di numeri primi. Quindi deve essere possibile scrivere a e b come prodotti di numeri primi, perché sono entrambi più piccoli di n. Ma allora il prodotto
n = ab
può essere scritto anche come prodotto di numeri primi. Questa è un'impossibilità perché abbiamo detto che n non può essere scritto come prodotto di numeri primi.
Abbiamo ora dimostrato l'impossibilità che esiste se la prima parte del teorema non fosse vera. In questo modo abbiamo dimostrato la prima parte del teorema.
Seconda parte della prova
Ora dobbiamo dimostrare che c'è solo un modo per scrivere un numero positivo maggiore di 1 come prodotto di numeri primi.
Per fare questo, usiamo il seguente lemma: se un numero primo p divide un prodotto ab, allora divide a o divide b (lemma di Euclide). Per prima cosa dimostriamo ora questo lemma. Bene, supponiamo ora che p non divida a. Allora p e a sono coprimi e abbiamo l'identità di Bezout che dice che ci devono essere interi x e y tali che
px + ay = 1.
Moltiplicando tutto con b si ottiene
pbx + aby = b,
Ricordate che ab potrebbe essere diviso da p. Così ora, sul lato sinistro abbiamo due termini che sono divisibili per p. Quindi anche il termine sul lato destro è divisibile per p. Ora abbiamo dimostrato che se p non divide a, deve dividere b. Questo dimostra il lemma.
Ora dimostreremo che possiamo scrivere un intero maggiore di 1 in un solo modo come prodotto di numeri primi. Prendiamo due prodotti di numeri primi A e B che hanno lo stesso risultato. Quindi sappiamo per il risultato dei prodotti che A = B. Prendiamo un qualsiasi primo p dal primo prodotto A. Divide A, quindi divide anche B. Usando più volte il lemma che abbiamo appena dimostrato, possiamo vedere che p deve poi dividere almeno un fattore b di B. Ma i fattori sono tutti primi, quindi anche b è primo. Ma sappiamo che anche p è primo, quindi p deve essere uguale a b. Quindi ora dividiamo A per p e dividiamo anche B per p. E otteniamo un risultato come A* = B*. Di nuovo possiamo prendere un primo p dal primo prodotto A* e scoprire che è uguale a qualche numero nel prodotto B*. Continuando in questo modo, alla fine vediamo che i fattori primi dei due prodotti devono essere esattamente gli stessi. Questo dimostra che possiamo scrivere un numero intero positivo come prodotto di primi in un solo e unico modo.
