Funzione di Heaviside

Possiamo anche definire una forma alternativa della funzione di passo di Heaviside come funzione di una variabile discreta n:

H [ n ] = { 0 , n < 0 1 , n ≥ 0 {displaystyle H[n]={begin{cases}0,&n<0\1,&n\geq 0\end{cases}}

dove n è un numero intero.

Oppure

H ( x ) = lim z → x - ( | z | / z + 1 ) / 2 ) {\displaystyle H(x)=\lim _{z\rightarrow x^{-}}((|z|/z+1)/2)}

L'impulso unitario a tempo discreto è la prima differenza del passo a tempo discreto

δ [ n ] = H [ n ] - H [ n - 1 ] . {\displaystyle \delta \left[n\right]=H[n]-H[n-1]. }

Questa funzione è la sommatoria cumulativa del delta di Kronecker:

H [ n ] = ∑ k = - ∞ n δ [ k ] {\displaystyle H[n]=sum _{k=-\infty }^{n}delta [k]\n,}

dove

δ [ k ] = δ k , 0 {displaystyle \delta [k]=\delta _{k,0},}

è la funzione d'impulso unitaria discreta.

Spesso è utile una rappresentazione integrale della funzione di passo di Heaviside:

H ( x ) = lim ϵ → 0 + - 1 2 π i ∫ - ∞ ∞ 1 τ + i ϵ e - i x τ d τ = lim ϵ → 0 + 1 2 π i ∫ - ∞ ∞ 1 τ - i ϵ e i x τ d τ . H(x)=lim _{epsilon \a 0^{+}-{1 \sopra 2\pi \mathrm {i} 1 su \tau +mathrm {i} ‖epsilon ‗mathrm ‗e‖ ^-{mathrm {i} x\tau {mathrm {d} \tau ={lim _{epsilon \a 0^{+}{1 \sopra 2\pi \mathrm {i} 1 su 2pi \mathrm {i}, \mathrm {i}, \mathrm {i}, \mathrm {i}, \mathrm {i}, \mathrm {i}, \mathrm {i}. ‗epsilon ‗mathrm ‗e‖ ^{mathrm {i} x\tau {mathrm {d} \tau . }

Il valore della funzione a 0 può essere definito come H(0) = 0, H(0) = ½ o H(0) = 1.

H ( x ) = 1 + sgn ( x ) 2 = { 0 , x < 0 1 2 , x = 0 1 , x > 0. {\displaystyle H(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0.\end{cases}}}

• Trasformata di Laplace