Identità (matematica)

Per altri sensi di questa parola, vedi identità.

In matematica, il termine identità ha diversi usi importanti:

  • Un'identità è un'uguaglianza che rimane vera anche se si cambiano tutte le variabili che sono usate in quell'uguaglianza.

Un'uguaglianza in senso matematico è vera solo in condizioni più particolari. Per questo, a volte si usa il simbolo ≡. (Tuttavia, questo può portare a malintesi poiché lo stesso simbolo può essere usato anche per una relazione di congruenza).

Esempi

Relazione d'identità

Un esempio comune del primo significato è l'identità trigonometrica

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {displaystyle \sin ^{2}theta +\cos ^{2}theta =1\,} {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}

che è vero per tutti i valori reali di θ {displaystyle \theta } {\displaystyle \theta }(poiché i numeri reali R {\displaystyle {\mathbb {R}}}sono il dominio di sin e cos), al contrario di

cos θ = 1 , {displaystyle \cos \theta =1,\} {\displaystyle \cos \theta =1,\,}

che è vero solo per valori di θ {displaystyle \theta }{\displaystyle \theta } in un sottoinsieme del dominio.

Elemento di identità

I concetti di "identità additiva" e "identità moltiplicativa" sono centrali negli assiomi di Peano. Il numero 0 è l'"identità additiva" per i numeri interi, i numeri reali e i numeri complessi. Per i numeri reali, per tutti a ∈ R , {displaystyle a\in {mathbb {R},} {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},}

0 + a = a , {\displaystyle 0+a=a,\} {\displaystyle 0+a=a,\,}

a + 0 = a , {\displaystyle a+0=a,\ {\displaystyle a+0=a,\,}e

0 + 0 = 0. {\displaystyle 0+0=0.\,} {\displaystyle 0+0=0.\,}

Allo stesso modo, il numero 1 è l'"identità moltiplicativa" per i numeri interi, i numeri reali e i numeri complessi. Per i numeri reali, per tutti a ∈ R , {displaystyle a\in {mathbb {R},} {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},}

1 × a = a , {\displaystyle 1\times a=a,\} {\displaystyle 1\times a=a,\,}

a × 1 = a , {\displaystyle a\times 1=a,\ {\displaystyle a\times 1=a,\,}e

1 × 1 = 1. 1 × 1 = 1. {\displaystyle 1\times 1=1.\,}

Funzione di identità

Un esempio comune di una funzione di identità è la permutazione di identità, che manda ogni elemento dell'insieme { 1 , 2 , ... , n } 1,2, punti, n, {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}a se stesso.

Confronto

Questi significati non si escludono a vicenda; per esempio, la permutazione identità è l'elemento identico nell'insieme delle permutazioni di { 1 , 2 , ... , n } {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}sotto composizione.


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