Identità (matematica)
Per altri sensi di questa parola, vedi identità.
In matematica, il termine identità ha diversi usi importanti:
- Un'identità è un'uguaglianza che rimane vera anche se si cambiano tutte le variabili che sono usate in quell'uguaglianza.
Un'uguaglianza in senso matematico è vera solo in condizioni più particolari. Per questo, a volte si usa il simbolo ≡. (Tuttavia, questo può portare a malintesi poiché lo stesso simbolo può essere usato anche per una relazione di congruenza).
Esempi
Relazione d'identità
Un esempio comune del primo significato è l'identità trigonometrica
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {displaystyle \sin ^{2}theta +\cos ^{2}theta =1\,} 
che è vero per tutti i valori reali di θ {displaystyle \theta } 
(poiché i numeri reali R 
sono il dominio di sin e cos), al contrario di
cos θ = 1 , {displaystyle \cos \theta =1,\} 
che è vero solo per valori di θ {displaystyle \theta } in un sottoinsieme del dominio.
Elemento di identità
I concetti di "identità additiva" e "identità moltiplicativa" sono centrali negli assiomi di Peano. Il numero 0 è l'"identità additiva" per i numeri interi, i numeri reali e i numeri complessi. Per i numeri reali, per tutti a ∈ R , {displaystyle a\in {mathbb {R},} 
0 + a = a , {\displaystyle 0+a=a,\} 
a + 0 = a , {\displaystyle a+0=a,\ 
e
0 + 0 = 0. {\displaystyle 0+0=0.\,} 
Allo stesso modo, il numero 1 è l'"identità moltiplicativa" per i numeri interi, i numeri reali e i numeri complessi. Per i numeri reali, per tutti a ∈ R , {displaystyle a\in {mathbb {R},}
1 × a = a , {\displaystyle 1\times a=a,\} 
a × 1 = a , {\displaystyle a\times 1=a,\ 
e
1 × 1 = 1. 1 × 1 = 1. 
Funzione di identità
Un esempio comune di una funzione di identità è la permutazione di identità, che manda ogni elemento dell'insieme { 1 , 2 , ... , n } 1,2, punti, n, 
a se stesso.
Confronto
Questi significati non si escludono a vicenda; per esempio, la permutazione identità è l'elemento identico nell'insieme delle permutazioni di { 1 , 2 , ... , n } sotto composizione.
