Identità (matematica)

Esempi

Relazione d'identità

Un esempio comune del primo significato è l'identità trigonometrica

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {displaystyle \sin ^{2}theta +\cos ^{2}theta =1\,}

che è vero per tutti i valori reali di θ {displaystyle \theta } (poiché i numeri reali R sono il dominio di sin e cos), al contrario di

cos θ = 1 , {displaystyle \cos \theta =1,\}

che è vero solo per valori di θ {displaystyle \theta } in un sottoinsieme del dominio.

Elemento di identità

I concetti di "identità additiva" e "identità moltiplicativa" sono centrali negli assiomi di Peano. Il numero 0 è l'"identità additiva" per i numeri interi, i numeri reali e i numeri complessi. Per i numeri reali, per tutti a ∈ R , {displaystyle a\in {mathbb {R},}

0 + a = a , {\displaystyle 0+a=a,\}

a + 0 = a , {\displaystyle a+0=a,\ e

0 + 0 = 0. {\displaystyle 0+0=0.\,}

Allo stesso modo, il numero 1 è l'"identità moltiplicativa" per i numeri interi, i numeri reali e i numeri complessi. Per i numeri reali, per tutti a ∈ R , {displaystyle a\in {mathbb {R},}

1 × a = a , {\displaystyle 1\times a=a,\}

a × 1 = a , {\displaystyle a\times 1=a,\ e

1 × 1 = 1. 1 × 1 = 1.

Funzione di identità

Un esempio comune di una funzione di identità è la permutazione di identità, che manda ogni elemento dell'insieme { 1 , 2 , ... , n } 1,2, punti, n, a se stesso.

Confronto

Questi significati non si escludono a vicenda; per esempio, la permutazione identità è l'elemento identico nell'insieme delle permutazioni di { 1 , 2 , ... , n } sotto composizione.