L'orologio luminoso è un modo semplice per mostrare una caratteristica fondamentale della relatività speciale. Un orologio è progettato per funzionare facendo rimbalzare un lampo di luce su uno specchio lontano e usando il suo ritorno per innescare un altro lampo di luce, contando nel frattempo quanti lampi si sono verificati lungo il percorso. È facile mostrare che le persone sulla Terra che guardano un'astronave volare sopra di loro con un orologio di questo tipo lo vedrebbero ticchettare relativamente lentamente. Questo effetto è chiamato dilatazione del tempo.
Prima di studiare l'orologio luminoso, consideriamo un altro tipo di relatività. Immaginate che qualcuno stia palleggiando un pallone da basket nella stiva di un grande cargo jet. Il giocatore di basket si muove nella stessa direzione del jet. Le altre persone sull'aereo lo vedono muovere un metro o due mentre fa un dribbling. Tra il momento in cui la palla rimbalza la prima volta e quello in cui la palla rimbalza la seconda volta, è passato circa un secondo. Ma quando si è verificato il primo rimbalzo la palla da basket era sopra Gibilterra, e quando si è verificato il secondo rimbalzo la palla da basket era sopra l'acqua più vicina alla Spagna. Quindi il pallone da basket si è spostato di 280 metri rispetto alla Terra.
Consideriamo ora una questione un po' simile di moto relativo. Questa volta prenderemo in considerazione ciò che le persone che guardano le stelle dal Polo Nord vedono quando un'astronave molto veloce vola sopra di loro. Possiamo usare l'algebra e il teorema di Pitagora per calcolare quanto tempo rallenta l'astronave. L'unica altra cosa di cui abbiamo bisogno è l'equazione che mette in relazione distanza, d, velocità o velocità di viaggio, r, e tempo, t. L'equazione è:
d = rt
La velocità della luce è costante, quindi applicheremo questo valore a due problemi. Chiameremo la velocità della luce c, come questa è la lettera che gli scienziati usano di solito per chiamarla.
Un orologio è fatto mettendo un'uscita di luce in fondo ad un lungo palo, uno specchio in cima al palo, e un rivelatore elettronico di luce in fondo al palo. L'orologio viene avviato chiudendo brevemente un interruttore che invia un battito di luce dalla parte inferiore del palo alla parte superiore del palo, dove viene riflessa nella parte inferiore del palo. Quando il rivelatore di luce nella parte inferiore del palo vede il battito di luce fa due cose. Ne aggiunge uno al contatore che gli è attaccato, e spara un altro lampeggio di luce fino allo specchio. Quando quel battito di luce ritorna sul fondo, il conteggio passa a due e si attiva un altro battito di luce. Poiché la luce viaggia molto rapidamente (300.000 chilometri al secondo), per ogni secondo misurato da un normale orologio, l'orologio della luce "spunta" un numero molto elevato di volte.
Per facilitare la matematica, diremo che il palo è lungo mezzo chilometro. Quindi, se ci troviamo accanto all'orologio luminoso costruito accanto al grande telescopio al Polo Nord, vedremo che la luce percorre un chilometro per ogni "spunta" dell'orologio luminoso. Poiché la distanza percorsa, d, è uguale alla velocità moltiplicata per il tempo, e la velocità in questione è c, abbiamo l'equazione:
d = ct
e possiamo risolvere questa equazione per t per imparare quanto tempo è lungo in secondi ogni "tick".
1 km = 300.000 km/secondo * t secondi
t secondi = 1 km/300.000 (km/secondo) = 1/300.000 secondi = 0,00000333...3 secondi
In altre parole, ogni "spunta" dell'orologio luminoso impiegherà 0,00000333...3 secondi.
Se un'astronave volasse su una linea retta che passa sopra il Polo Nord a una grande frazione della velocità della luce, e avesse un orologio simile, le persone che osservano il suo passaggio vedrebbero che lo specchio in cima al polo si è spostato direttamente sopra la luce che emette, quindi la luce viaggerebbe lungo la linea segnata h nel diagramma, e poi seguirebbe l'altra ipotenusa fino alla base del polo - che ormai si sarebbe spostata di una certa distanza dato che l'astronave si sta muovendo così velocemente. Possiamo capire quanto tempo impiegherebbe una zecca, secondo le persone sulla Terra. Sappiamo che il polo dell'astronave ha una lunghezza di a poiché è lo stesso tipo di orologio che la gente usa al Polo Nord. Vogliamo capire t' , il tempo necessario per fare una spunta dell'orologio dell'astronave.
Sappiamo che l'astronave viaggerà 1/2 r t' mentre il battito di luce si dirige verso lo specchio, e un altro 1/2 r t' mentre il battito di luce si dirige verso la base del palo. Quindi questo calcolo ci dà la lunghezza della linea b del grafico. Conosciamo a, quindi possiamo capire h dal teorema di Pitagora:
h = √(a2 + (rt' /2)2)
Quindi la distanza totale percorsa dalla luce è di 2 h o d = 2 √(a2 + (rt' /2)2)
Sappiamo anche che la velocità della luce, c, è costante. Non importa chi la misura, risulta essere la stessa velocità. Quindi possiamo usare questo fatto per ottenere un altro modo di calcolare quanto tempo ci vuole perché il lampo di luce passi dalla base alla cima del palo e viceversa:
t' = d/c
In altre parole, d = c t' .
Così possiamo scrivere
c t' = 2 √(a2 + (rt' /2)2)
oppure
1/2 c t' = √(a2 + (rt' /2)2)
Per risolvere l'equazione di cui sopra, dovremo farlo:
- Squadrare entrambi i lati
- Dividere entrambi i lati per t' 2
- Moltiplicare entrambi i lati per 4
- Dividere entrambi i lati per c2
- Semplificare c2 / c2
- Sottrarre r2/c2 da entrambi i lati
- Prendere la radice quadrata di entrambi i lati
- Moltiplicare entrambi i lati per t
- Dividere entrambi i lati per √(1-r2/c2)
Risolvendo l'equazione di cui sopra troviamo che:
t' = 2a/(c√(1-r2/c2)
Il tempo tra un ticchettio e l'altro al Polo Nord è di 2 a/c, quindi possiamo scrivere:
t' = t/√(1-r2/c2)
Se t = 1 secondo, se l'astronave viaggia alla metà della velocità della luce, t' = 1,1547 sec.
Esperimento con varie velocità di viaggio all'indirizzo: http://www.1728.org/reltivty.htm