Relatività speciale

Fondamenti di relatività speciale

Supponiamo che tu ti stia muovendo verso qualcosa che si muove verso di te. Se ne misurate la velocità, sembrerà che si stia muovendo più velocemente che se non vi muovete. Ora supponiamo che vi stiate allontanando da qualcosa che si sta muovendo verso di voi. Se misurate di nuovo la sua velocità, sembrerà che si stia muovendo più lentamente. Questa è l'idea di "velocità relativa", la velocità dell'oggetto rispetto a voi.

Prima di Albert Einstein, gli scienziati cercavano di misurare la "velocità relativa" della luce. Lo facevano misurando la velocità della luce stellare che raggiungeva la Terra. Si aspettavano che se la Terra si muoveva verso una stella, la luce proveniente da quella stella doveva sembrare più veloce di quanto non sarebbe sembrato se la Terra si fosse allontanata da quella stella. Tuttavia, hanno notato che, indipendentemente da chi ha eseguito gli esperimenti, da dove sono stati eseguiti, o da quale luce stellare è stata usata, la velocità della luce misurata nel vuoto era sempre la stessa.

Einstein diceva che questo accade perché c'è qualcosa di inaspettato nella lunghezza e nella durata, o quanto dura qualcosa. Pensava che, man mano che la Terra si muove nello spazio, tutte le durate misurabili cambiano leggermente. Qualsiasi orologio usato per misurare una durata sarà sbagliato esattamente della giusta quantità in modo che la velocità della luce rimanga la stessa. Immaginare un "orologio della luce" ci permette di capire meglio questo fatto notevole per il caso di una singola onda luminosa.

Inoltre, Einstein ha detto che, man mano che la Terra si muove nello spazio, tutte le lunghezze misurabili cambiano (sempre leggermente). Qualsiasi dispositivo che misura la lunghezza darà una lunghezza esattamente della giusta quantità, in modo che la velocità della luce rimanga la stessa.

La cosa più difficile da capire è che gli eventi che sembrano essere simultanei in un fotogramma possono non esserlo in un altro. Questo ha molti effetti che non sono facili da percepire o da capire. Poiché la lunghezza di un oggetto è la distanza dalla testa alla coda in un momento simultaneo, ne consegue che se due osservatori non sono d'accordo su quali eventi sono simultanei, allora questo influenzerà (a volte drammaticamente) le loro misure della lunghezza degli oggetti. Inoltre, se una linea di orologi appare sincronizzata con un osservatore fermo e sembra non essere sincronizzata con lo stesso osservatore dopo aver accelerato ad una certa velocità, ne consegue che durante l'accelerazione gli orologi hanno corso a velocità diverse. Alcuni possono anche correre all'indietro. Questa linea di ragionamento porta alla relatività generale.

Altri scienziati prima di Einstein avevano scritto che la luce sembra andare alla stessa velocità, indipendentemente da come è stata osservata. Ciò che ha reso la teoria di Einstein così rivoluzionaria è che considera la misurazione della velocità della luce costante per definizione, in altre parole è una legge della natura. Ciò ha le notevoli implicazioni che le misurazioni relative alla velocità, alla lunghezza e alla durata, cambiano per adattarsi a questo.

Le trasformazioni di Lorentz

Le basi matematiche della relatività speciale sono le trasformazioni di Lorentz, che descrivono matematicamente le visioni dello spazio e del tempo di due osservatori che si muovono l'uno rispetto all'altro senza subire accelerazioni.

Per definire le trasformazioni utilizziamo un sistema di coordinate cartesiane per descrivere matematicamente il tempo e lo spazio degli "eventi".

Ogni osservatore può descrivere un evento come la posizione di qualcosa nello spazio in un certo momento, usando le coordinate (x,y,z,t).

La posizione dell'evento è definita nelle prime tre coordinate (x,y,z) in relazione ad un centro arbitrario (0,0,0,0) in modo che (3,3,3) sia una diagonale che va a 3 unità di distanza (come metri o miglia) in ogni direzione.

L'ora dell'evento è descritta con la quarta coordinata t in relazione ad un punto temporale arbitrario (0) in qualche unità di tempo (come i secondi o le ore o gli anni).

Che ci sia un osservatore K che descriva quando gli eventi si verificano con una coordinata temporale t, e che descriva dove gli eventi si verificano con coordinate spaziali x, y e z. Questo è matematicamente definire il primo osservatore il cui "punto di vista" sarà il nostro primo riferimento.

Precisiamo che l'ora di un evento è data: dal momento in cui è osservato t_(osservato) (diciamo oggi, alle 12) meno il tempo che ha impiegato l'osservazione per raggiungere l'osservatore.

Questo può essere calcolato come la distanza dall'osservatore all'evento d_(osservato) (diciamo che l'evento è su una stella che è distante 1 anno luce, quindi la luce impiega 1 anno per raggiungere l'osservatore) divisa per c, la velocità della luce (diversi milioni di miglia all'ora), che definiamo come la stessa per tutti gli osservatori.

Questo è corretto perché la distanza, divisa per la velocità, dà il tempo necessario per percorrere quella distanza a quella velocità (ad esempio 30 miglia divise per 10 mph: dateci 3 ore, perché se si va a 10 mph per 3 ore, si raggiungono le 30 miglia). Così abbiamo fatto:

t = d / c {\displaystyle t=d/c}

Questo definisce matematicamente ciò che ogni "tempo" significa per ogni osservatore.

Ora, con queste definizioni, che ci sia un altro osservatore K' che sia

• che si muove lungo l'asse x di K ad una velocità di v,
• ha un sistema di coordinate spaziali di x' , y' , e z' ,

dove l'asse x' coincide con l'asse x, e con gli assi y' e z' - "essendo sempre paralleli" agli assi y e z.

Ciò significa che quando K' dà una posizione come (3,1,2), la x (che in questo esempio è 3) è lo stesso posto di cui parlerebbe K, il primo osservatore, ma l'1 sull'asse y o il 2 sull'asse z sono solo paralleli ad una certa posizione sul sistema di coordinate dell'osservatore K', e

• dove K e K' sono coincidenti a t = t' = 0

Ciò significa che la coordinata (0,0,0,0,0) è lo stesso evento per entrambi gli osservatori.

In altre parole, entrambi gli osservatori hanno (almeno) un orario e un luogo su cui sono d'accordo, che è il luogo e l'ora zero.

Le trasformazioni di Lorentz sono quindi

t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\fscx130\fscy130\frx40})/{\sqrt {1-v^{2}{2}}}}

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\a6}_displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

y ′ = y {\fscx130\fscy130\frx40}- y ′ = y {\fscx130\fscy130\frx40}. e

z ′ = z {\a6} .

Definire un evento per avere coordinate spazio-temporali (t,x,y,z) nel sistema S e (t′,x′,y′,y′,z′) in un quadro di riferimento che si muove ad una velocità v rispetto a quel quadro, S′. Poi la trasformazione di Lorentz specifica che queste coordinate sono correlate nel seguente modo: è il fattore Lorentz e c è la velocità della luce nel vuoto, e la velocità v di S′ è parallela all'asse x. Per semplicità, le coordinate y e z non sono influenzate; solo le coordinate x e t vengono trasformate. Queste trasformazioni di Lorentz formano un gruppo di mappature lineari di un parametro, che viene chiamato velocità.

Risolvendo le quattro equazioni di trasformazione di cui sopra per le coordinate non privilegiate si ottiene la trasformazione Lorentz inversa:

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}

L'esecuzione di questa trasformazione inversa di Lorentz in coincidenza con la trasformazione di Lorentz dal sistema primerizzato al sistema non primerizzato, mostra il telaio non primerizzato come in movimento con la velocità v′ = -v, misurata nel telaio primerizzato.

Non c'è niente di speciale nell'asse delle x. La trasformazione può essere applicata all'asse y o all'asse z, o addirittura in qualsiasi direzione, che può essere fatta da direzioni parallele al moto (che sono deformate dal fattore γ) e perpendicolari; si veda l'articolo Trasformazione di Lorentz per i dettagli.

Una quantità invariante sotto le trasformazioni di Lorentz è nota come scalare di Lorentz.

Scrivendo la trasformazione di Lorentz e il suo inverso in termini di differenze di coordinate, dove un evento ha coordinate (x1, t1) e (x′1, t′1), un altro evento ha coordinate (x2, t2) e (x′2, t′2), e le differenze sono definite come

Eq. 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\an8}Delta x'=x'_{2}-x'_{1} ,\an8} \an8}Delta t'=t'_{2}-t'_{1}} . }

Eq. 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\an8}Delta x=x_{2}-x_{1}-x_1} ,\an8} \an8}Delta t=t_{2}-t_{1}\an8} . }

otteniamo

Eq. 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\fscx130\fscy130\frx40}}Delta x'= \gamma \ (\Delta x-v \fscx130\fscy130\frx40}(\Delta x-v\fscy130\frx40},\fscx130\frx40}Delta t) Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . \displaystyle \Delta t'= \gamma \sinistra(\Delta t-v \Delta x/c^{2}{2} destra)\sinistra. }

Eq. 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\fscx130\fscy130\frx40}(\fscy130\frx40}(\fscx130\fscy130\frx40}(\fscy130\frx40}Delta x'+v ′,\fscx130\fscy130\frx40}Delta x'+v Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . \displaystyle \Delta t=\gamma \sinistra(\Delta t'+v \Delta x'/c^{2}{2} dx)\sinistra. }

Se prendiamo i differenziali invece di prendere le differenze, otteniamo

Eq. 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\a6} d x ′ = γ ( d x - v d x / c 2 ) , {\a6} d x ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . dx-v, dt)\ \ \ \ \ \ \ \x40}{2 \x40} dx-v, dt)\x40}{2 \x40}. }

Eq. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\a6: d x = γ ( d x ′ + v d x ′ / c 2 ) , {\a6: d x = γ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . dt=\code(dt'+v \c^{2 \code(01) \code(01) \code(01) \code(01) \code(01) \code(01) \code(01) \code(01) \code(01). }

Massa, energia e slancio

In relatività speciale, lo slancio p {\i} e l'energia totale E {\i} di un oggetto in funzione della sua massa m {\i} sono

p = m v 1 - v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

e

E = m c 2 1 - v 2 c 2 c 2 {\displaystyle E={\frac {mc^{2}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} .

Un errore frequente (anche in alcuni libri) è quello di riscrivere questa equazione usando una "massa relativistica" (nella direzione del moto) di m r = m 1 - v 2 c 2 {\displaystyle m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}} . Il motivo per cui questo non è corretto è che la luce, per esempio, non ha massa, ma ha energia. Se usiamo questa formula, il fotone (particella di luce) ha una massa, che secondo gli esperimenti non è corretta.

Nella relatività speciale, la massa, l'energia totale e la quantità di moto di un oggetto sono legate dall'equazione

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}} .

Per un oggetto a riposo, p = 0 {\displaystyle p=0} quindi l'equazione di cui sopra si semplifica a E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}}}}. . Quindi, un oggetto massiccio a riposo ha ancora energia. Noi la chiamiamo energia di riposo e la indichiamo con E 0 {\i}} :

E 0 = m c 2 {\i\i}{0}=mc^{2}}} .

Storia

La necessità di una relatività speciale è nata dalle equazioni di Maxwell sull'elettromagnetismo, pubblicate nel 1865. In seguito si è scoperto che esse richiedono che le onde elettromagnetiche (come la luce) si muovano ad una velocità costante (cioè la velocità della luce).

Per far sì che le equazioni di James Clerk Maxwell fossero coerenti sia con le osservazioni astronomiche^[1] che con la fisica newtoniana^[2], Maxwell propose nel 1877 che la luce viaggiasse attraverso un etere che è ovunque nell'universo.

Nel 1887, il famoso esperimento di Michelson-Morley cercò di rilevare il "vento etereo" generato dal movimento della Terra. ^[3] I persistenti risultati nulli di questo esperimento lasciarono perplessi i fisici e misero in discussione la teoria dell'etere.

Nel 1895, Lorentz e Fitzgerald notarono che il risultato nullo dell'esperimento Michelson-Morley poteva essere spiegato dal vento di etere che contraeva l'esperimento nella direzione del moto dell'etere. Questo effetto è chiamato contrazione di Lorentz, e (senza etere) è una conseguenza della relatività speciale.

Nel 1899, Lorentz pubblicò per la prima volta le equazioni di Lorentz. Anche se non era la prima volta che venivano pubblicate, questa era la prima volta che venivano usate come spiegazione del risultato nullo di Michelson-Morley, poiché la contrazione di Lorentz ne è il risultato.

Nel 1900, Poincaré tenne un famoso discorso in cui considerava la possibilità che fosse necessaria una qualche "nuova fisica" per spiegare l'esperimento Michelson-Morley.

Nel 1904, Lorentz ha dimostrato che i campi elettrici e magnetici possono essere modificati l'uno nell'altro attraverso le trasformazioni di Lorentz.

Nel 1905, Einstein pubblicò il suo articolo che introduceva la relatività speciale, "On the Electrodynamics of Moving Bodies", in Annalen der Physik. In questo articolo, egli presentava i postulati della relatività, ne ricavavava le trasformazioni di Lorentz e (ignaro dell'articolo di Lorentz del 1904) mostrava anche come le trasformazioni di Lorentz influenzano i campi elettrici e magnetici.

Più tardi, nel 1905, Einstein pubblicò un altro articolo che presentava E = mc2.

Nel 1908, Max Planck appoggiò la teoria di Einstein e la chiamò "relatività". Nello stesso anno, Hermann Minkowski tenne un famoso discorso su Spazio e Tempo in cui dimostrò che la relatività è autoconsistente e sviluppò ulteriormente la teoria. Questi eventi costrinsero la comunità fisica a prendere sul serio la relatività. La relatività è diventata sempre più accettata.

Nel 1912, Einstein e Lorentz furono nominati per il premio Nobel per la fisica grazie al loro lavoro pionieristico sulla relatività. Purtroppo la relatività fu così controversa allora, e rimase controversa per così tanto tempo che non fu mai assegnato un premio Nobel per essa.

Conferme sperimentali

• L'esperimento Michelson-Morley, che non è riuscito a rilevare alcuna differenza nella velocità della luce in base alla direzione del movimento della luce.
• L'esperimento di Fizeau, in cui l'indice di rifrazione della luce nell'acqua in movimento non può essere inferiore a 1. I risultati osservati sono spiegati dalla regola relativistica per l'aggiunta di velocità.
• L'energia e la quantità di moto della luce obbediscono all'equazione E = p c {\displaystyle E=pc} . (Nella fisica newtoniana ci si aspetta che questa sia E = 1 2 p c {\fscx130\fscy130\fscy130\frx40}(in fisica newtoniana, ci si aspetta che sia E = 1 2 p c {\fscx130\fscy130\frx40}{displaystyle E={begin{matrix}{begin{matrix}}}.
• L'effetto doppler trasversale, dove la luce emessa da un oggetto in rapido movimento viene spostata in rosso a causa della dilatazione temporale.
• La presenza di muoni creati nell'alta atmosfera sulla superficie della Terra. Il problema è che ci vuole molto più tempo dell'emivita dei muoni per arrivare sulla superficie terrestre anche alla velocità della luce. La loro presenza può essere vista come dovuta alla dilatazione temporale (secondo noi) o alla contrazione della lunghezza della distanza dalla superficie terrestre (secondo i muoni).
• Gli acceleratori di particelle non possono essere costruiti senza tener conto della fisica relativistica.

Pagine correlate

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