Le basi matematiche della relatività speciale sono le trasformazioni di Lorentz, che descrivono matematicamente le visioni dello spazio e del tempo di due osservatori che si muovono l'uno rispetto all'altro senza subire accelerazioni.
Per definire le trasformazioni utilizziamo un sistema di coordinate cartesiane per descrivere matematicamente il tempo e lo spazio degli "eventi".
Ogni osservatore può descrivere un evento come la posizione di qualcosa nello spazio in un certo momento, usando le coordinate (x,y,z,t).
La posizione dell'evento è definita nelle prime tre coordinate (x,y,z) in relazione ad un centro arbitrario (0,0,0,0) in modo che (3,3,3) sia una diagonale che va a 3 unità di distanza (come metri o miglia) in ogni direzione.
L'ora dell'evento è descritta con la quarta coordinata t in relazione ad un punto temporale arbitrario (0) in qualche unità di tempo (come i secondi o le ore o gli anni).
Che ci sia un osservatore K che descriva quando gli eventi si verificano con una coordinata temporale t, e che descriva dove gli eventi si verificano con coordinate spaziali x, y e z. Questo è matematicamente definire il primo osservatore il cui "punto di vista" sarà il nostro primo riferimento.
Precisiamo che l'ora di un evento è data: dal momento in cui è osservato t(osservato) (diciamo oggi, alle 12) meno il tempo che ha impiegato l'osservazione per raggiungere l'osservatore.
Questo può essere calcolato come la distanza dall'osservatore all'evento d(osservato) (diciamo che l'evento è su una stella che è distante 1 anno luce, quindi la luce impiega 1 anno per raggiungere l'osservatore) divisa per c, la velocità della luce (diversi milioni di miglia all'ora), che definiamo come la stessa per tutti gli osservatori.
Questo è corretto perché la distanza, divisa per la velocità, dà il tempo necessario per percorrere quella distanza a quella velocità (ad esempio 30 miglia divise per 10 mph: dateci 3 ore, perché se si va a 10 mph per 3 ore, si raggiungono le 30 miglia). Così abbiamo fatto:
t = d / c {\displaystyle t=d/c} 
Questo definisce matematicamente ciò che ogni "tempo" significa per ogni osservatore.
Ora, con queste definizioni, che ci sia un altro osservatore K' che sia
- che si muove lungo l'asse x di K ad una velocità di v,
- ha un sistema di coordinate spaziali di x' , y' , e z' ,
dove l'asse x' coincide con l'asse x, e con gli assi y' e z' - "essendo sempre paralleli" agli assi y e z.
Ciò significa che quando K' dà una posizione come (3,1,2), la x (che in questo esempio è 3) è lo stesso posto di cui parlerebbe K, il primo osservatore, ma l'1 sull'asse y o il 2 sull'asse z sono solo paralleli ad una certa posizione sul sistema di coordinate dell'osservatore K', e
- dove K e K' sono coincidenti a t = t' = 0
Ciò significa che la coordinata (0,0,0,0,0) è lo stesso evento per entrambi gli osservatori.
In altre parole, entrambi gli osservatori hanno (almeno) un orario e un luogo su cui sono d'accordo, che è il luogo e l'ora zero.
Le trasformazioni di Lorentz sono quindi
t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\fscx130\fscy130\frx40})/{\sqrt {1-v^{2}{2}}}} 
x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\a6}_displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
y ′ = y {\fscx130\fscy130\frx40}- y ′ = y {\fscx130\fscy130\frx40}. 
e
z ′ = z {\a6} 
.
Definire un evento per avere coordinate spazio-temporali (t,x,y,z) nel sistema S e (t′,x′,y′,y′,z′) in un quadro di riferimento che si muove ad una velocità v rispetto a quel quadro, S′. Poi la trasformazione di Lorentz specifica che queste coordinate sono correlate nel seguente modo: è il fattore Lorentz e c è la velocità della luce nel vuoto, e la velocità v di S′ è parallela all'asse x. Per semplicità, le coordinate y e z non sono influenzate; solo le coordinate x e t vengono trasformate. Queste trasformazioni di Lorentz formano un gruppo di mappature lineari di un parametro, che viene chiamato velocità.
Risolvendo le quattro equazioni di trasformazione di cui sopra per le coordinate non privilegiate si ottiene la trasformazione Lorentz inversa:
t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}} 
L'esecuzione di questa trasformazione inversa di Lorentz in coincidenza con la trasformazione di Lorentz dal sistema primerizzato al sistema non primerizzato, mostra il telaio non primerizzato come in movimento con la velocità v′ = -v, misurata nel telaio primerizzato.
Non c'è niente di speciale nell'asse delle x. La trasformazione può essere applicata all'asse y o all'asse z, o addirittura in qualsiasi direzione, che può essere fatta da direzioni parallele al moto (che sono deformate dal fattore γ) e perpendicolari; si veda l'articolo Trasformazione di Lorentz per i dettagli.
Una quantità invariante sotto le trasformazioni di Lorentz è nota come scalare di Lorentz.
Scrivendo la trasformazione di Lorentz e il suo inverso in termini di differenze di coordinate, dove un evento ha coordinate (x1, t1) e (x′1, t′1), un altro evento ha coordinate (x2, t2) e (x′2, t′2), e le differenze sono definite come
Eq. 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\an8}Delta x'=x'_{2}-x'_{1} ,\an8} \an8}Delta t'=t'_{2}-t'_{1}} . } 
Eq. 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\an8}Delta x=x_{2}-x_{1}-x_1} ,\an8} \an8}Delta t=t_{2}-t_{1}\an8} . } 
otteniamo
Eq. 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\fscx130\fscy130\frx40}}Delta x'= \gamma \ (\Delta x-v \fscx130\fscy130\frx40}(\Delta x-v\fscy130\frx40},\fscx130\frx40}Delta t) 
Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . \displaystyle \Delta t'= \gamma \sinistra(\Delta t-v \Delta x/c^{2}{2} destra)\sinistra. } 
Eq. 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\fscx130\fscy130\frx40}(\fscy130\frx40}(\fscx130\fscy130\frx40}(\fscy130\frx40}Delta x'+v ′,\fscx130\fscy130\frx40}Delta x'+v 
Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . \displaystyle \Delta t=\gamma \sinistra(\Delta t'+v \Delta x'/c^{2}{2} dx)\sinistra. } 
Se prendiamo i differenziali invece di prendere le differenze, otteniamo
Eq. 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\a6} d x ′ = γ ( d x - v d x / c 2 ) , {\a6} 
d x ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . dx-v, dt)\ \ \ \ \ \ \ \x40}{2 \x40} dx-v, dt)\x40}{2 \x40}. } 
Eq. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\a6: d x = γ ( d x ′ + v d x ′ / c 2 ) , {\a6: d x = γ
( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . dt=\code(dt'+v \c^{2 \code(01) \code(01) \code(01) \code(01) \code(01) \code(01) \code(01) \code(01) \code(01). } 
