Anche se un modo più complicato di calcolare la metrica di Schwarzschild può essere trovato usando i simboli di Christoffel, può anche essere derivato usando le equazioni per la velocità di fuga ( v e {\displaystyle v_{e}}}
), la dilatazione temporale (dt'), la contrazione della lunghezza (dr'):
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} 
(1)
v è la velocità della particella
G è la costante gravitazionale
M è la massa del buco nero r è la
vicinanza della particella all'oggetto pesante
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\a6}{\a6}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt' è il vero cambiamento della particella nel tempo
dt è il vero cambiamento della particella
nel tempo
dr' è la vera distanza percorsa
dr
' è il vero
cambiamento della particella nella distanza
v è la velocità della particella
c è la velocità della luce
Nota: l'intervallo di tempo reale e la distanza reale percorsa dalla particella sono diversi dal tempo e dalla distanza calcolati nei calcoli di fisica classica, poiché essa viaggia in un campo gravitazionale così pesante!
Utilizzando l'equazione per lo spazio-tempo piatto in coordinate sferiche:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}sin ^{2}(\phi )^{2}}}}(d\phi )^{2}}} 
(4)
ds è il percorso della particella
θ {\an8}(*Stile di visualizzazione \an8}(*Stile di visualizzazione \an8}(*Stile di visualizzazione θ 
è l'angolo)
d θ θ \displaystyle \theta } e d ϕ \displaystyle \phi \phi \ 
sono il cambiamento di angoli
Inserendo le equazioni per la velocità di fuga, la dilatazione del tempo e la contrazione della lunghezza (equazioni 1, 2 e 3) nell'equazione per lo spaziotempo piatto (equazione 4), si ottiene la metrica di Schwarzschild:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\a6}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})(dt)^{2}++frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})}+r^{2}(d\fscx130\fscy130\frx40}(d\fscy130\frx40}(d\fscy130\frx40}}(d\fscy130\frx40}(d\fscy130\frx40}) 
(5)
Da questa equazione possiamo estrarre il raggio di Schwarzschild ( r s {\i}}
, il raggio di questo buco nero. Sebbene questo sia usato più comunemente per descrivere un buco nero di Schwarzschild, il raggio di Schwarzschild può essere calcolato per qualsiasi oggetto pesante.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 (\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}{r})(dt)^{2}++frac {1}(1-{\frac {r_s}{r})^{2}+r^{2}(d\fscx130\fscy130\frx40}(dr)^{2}+r^{2}(d\fscx130\fscy130\frx40}(d\fscy130\frx40}(d\fscy130\frx40}) 
(6)
r s_{s} è il limite di raggio impostato dell'oggetto
