Spazio-tempo di Schwarzschild

La metrica di Schwarzschild fu calcolata da Karl Schwarzschild come soluzione alle equazioni di campo di Einstein nel 1916. Conosciuta anche come soluzione di Schwarzschild, è un'equazione della relatività generale nel campo dell'astrofisica. Una metrica si riferisce ad un'equazione che descrive lo spazio-tempo; in particolare, una metrica di Schwarzschild descrive il campo gravitazionale intorno ad un buco nero di Schwarzschild - un buco nero sferico non rotante, sferico, senza campo magnetico, e dove la costante cosmologica è zero.

È essenzialmente un'equazione che descrive come una particella si muove attraverso lo spazio vicino ad un buco nero.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\i}{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}++frac {1}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})}(dr)^{2}+r^{2}(d\fscx130\fscy130\frx40}(d\fscy130\frx40}(d\fscy130\frx40}(d\fscy130\frx40}) {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}

Derivazione

Anche se un modo più complicato di calcolare la metrica di Schwarzschild può essere trovato usando i simboli di Christoffel, può anche essere derivato usando le equazioni per la velocità di fuga ( v e {\displaystyle v_{e}}}{\displaystyle v_{e}} ), la dilatazione temporale (dt'), la contrazione della lunghezza (dr'):

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}(1)

v è la velocità della particella
G è la costante gravitazionale
M è la massa del buco nero r è la
vicinanza della particella all'oggetto pesante

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\a6}{\a6}{c^{2}}}}}} {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}(2)
d r ′ = d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{\a6}{c^{2}}}}}}} {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}(3)

dt' è il vero cambiamento della particella nel tempo
dt è il vero cambiamento della particella
nel tempo
dr' è la vera distanza percorsa
dr
' è il vero
cambiamento della particella nella distanza
v è la velocità della particella
c è la velocità della luce

Nota: l'intervallo di tempo reale e la distanza reale percorsa dalla particella sono diversi dal tempo e dalla distanza calcolati nei calcoli di fisica classica, poiché essa viaggia in un campo gravitazionale così pesante!

Utilizzando l'equazione per lo spazio-tempo piatto in coordinate sferiche:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}sin ^{2}(\phi )^{2}}}}(d\phi )^{2}}} {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}(4)

ds è il percorso della particella

θ {\an8}(*Stile di visualizzazione \an8}(*Stile di visualizzazione \an8}(*Stile di visualizzazione θ {\displaystyle \theta }è l'angolo)
d θ θ \displaystyle \theta } {\displaystyle \theta }e d ϕ \displaystyle \phi \phi \ {\displaystyle \phi }sono il cambiamento di angoli

Inserendo le equazioni per la velocità di fuga, la dilatazione del tempo e la contrazione della lunghezza (equazioni 1, 2 e 3) nell'equazione per lo spaziotempo piatto (equazione 4), si ottiene la metrica di Schwarzschild:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\a6}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})(dt)^{2}++frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})}+r^{2}(d\fscx130\fscy130\frx40}(d\fscy130\frx40}(d\fscy130\frx40}}(d\fscy130\frx40}(d\fscy130\frx40}) {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}(5)

Da questa equazione possiamo estrarre il raggio di Schwarzschild ( r s {\i}}{\displaystyle r_{s}}, il raggio di questo buco nero. Sebbene questo sia usato più comunemente per descrivere un buco nero di Schwarzschild, il raggio di Schwarzschild può essere calcolato per qualsiasi oggetto pesante.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 (\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}{r})(dt)^{2}++frac {1}(1-{\frac {r_s}{r})^{2}+r^{2}(d\fscx130\fscy130\frx40}(dr)^{2}+r^{2}(d\fscx130\fscy130\frx40}(d\fscy130\frx40}(d\fscy130\frx40}) {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}(6)

r s_{s} {\displaystyle r_{s}}è il limite di raggio impostato dell'oggetto

Domande e risposte

D: Che cos'è la metrica di Schwarzschild?


R: La metrica di Schwarzschild è un'equazione della relatività generale nel campo dell'astrofisica che descrive come una particella si muove nello spazio vicino a un buco nero. È stata calcolata da Karl Schwarzschild come soluzione alle equazioni di campo di Einstein nel 1916.

D: A cosa si riferisce una metrica?


R: Una metrica si riferisce a un'equazione che descrive lo spaziotempo; in particolare, una metrica di Schwarzschild descrive il campo gravitazionale intorno a un buco nero di Schwarzschild.

D: Quali sono alcune caratteristiche del buco nero di Schwarzschild?


R: Il buco nero di Schwarzschild non ruota, è sferico e non ha un campo magnetico. Inoltre, la sua costante cosmologica è pari a zero.

D: Come possiamo descrivere il campo gravitazionale intorno a un buco nero di Schwarzschild?


R: Possiamo descriverlo utilizzando l'equazione metrica di Schwartzchild, che descrive come le particelle si muovono nello spazio vicino a questo tipo di buco nero.

D: Chi ha calcolato per primo questa equazione?


R: Karl Schwartzchild calcolò per la prima volta questa equazione come soluzione alle equazioni di campo di Einstein nel 1916.

D: Cosa rappresenta (ds)^2 in questa equazione?


R:(ds)^2 rappresenta la distanza tra due punti dello spaziotempo misurata rispetto alle coordinate temporali e spaziali.

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