Uno spazio Hilbert è un concetto matematico che copre l'uso extradimensionale dello spazio euclideo, cioè uno spazio con più di tre dimensioni. Uno spazio Hilbert utilizza la matematica delle due e tre dimensioni per cercare di descrivere ciò che accade in più di tre dimensioni. Prende il nome da David Hilbert.
L'algebra vettoriale e il calcolo sono metodi normalmente utilizzati nel piano euclideo bidimensionale e nello spazio tridimensionale. Negli spazi di Hilbert, questi metodi possono essere utilizzati con qualsiasi numero finito o infinito di dimensioni. Uno spazio Hilbert è uno spazio vettoriale che ha la struttura di un prodotto interno che permette di misurare la lunghezza e l'angolo. Anche gli spazi Hilbert devono essere completi, il che significa che devono esistere abbastanza limiti perché il calcolo funzioni.
I primi spazi Hilbert sono stati studiati nel primo decennio del XX secolo da David Hilbert, Erhard Schmidt e Frigyes Riesz. John von Neumann inventò per primo il nome "Spazio Hilbert". I metodi spaziali di Hilbert hanno fatto una grande differenza nell'analisi funzionale.
Gli spazi di Hilbert sono molto presenti in matematica, fisica e ingegneria, spesso come spazi con funzioni infinitesimali. Sono particolarmente utili per studiare le equazioni differenziali parziali, la meccanica quantistica, l'analisi di Fourier (che include l'elaborazione deisegnali e il trasferimento di calore). Gli spazi di Hilbert sono usati nella teoria ergodica che è la base matematica della termodinamica. Tutti i normali spazi euclidei sono anche spazi di Hilbert. Altri esempi di spazi Hilbert includono spazi di funzioni quadrate, spazi di sequenze, spazi Sobolev costituiti da funzioni generalizzate e spazi Hardy di funzioni olomorfiche.
