Spazio Hilbert
Uno spazio Hilbert è un concetto matematico che copre l'uso extradimensionale dello spazio euclideo, cioè uno spazio con più di tre dimensioni. Uno spazio Hilbert utilizza la matematica delle due e tre dimensioni per cercare di descrivere ciò che accade in più di tre dimensioni. Prende il nome da David Hilbert.
L'algebra vettoriale e il calcolo sono metodi normalmente utilizzati nel piano euclideo bidimensionale e nello spazio tridimensionale. Negli spazi di Hilbert, questi metodi possono essere utilizzati con qualsiasi numero finito o infinito di dimensioni. Uno spazio Hilbert è uno spazio vettoriale che ha la struttura di un prodotto interno che permette di misurare la lunghezza e l'angolo. Anche gli spazi Hilbert devono essere completi, il che significa che devono esistere abbastanza limiti perché il calcolo funzioni.
I primi spazi Hilbert sono stati studiati nel primo decennio del XX secolo da David Hilbert, Erhard Schmidt e Frigyes Riesz. John von Neumann inventò per primo il nome "Spazio Hilbert". I metodi spaziali di Hilbert hanno fatto una grande differenza nell'analisi funzionale.
Gli spazi di Hilbert sono molto presenti in matematica, fisica e ingegneria, spesso come spazi con funzioni infinitesimali. Sono particolarmente utili per studiare le equazioni differenziali parziali, la meccanica quantistica, l'analisi di Fourier (che include l'elaborazione deisegnali e il trasferimento di calore). Gli spazi di Hilbert sono usati nella teoria ergodica che è la base matematica della termodinamica. Tutti i normali spazi euclidei sono anche spazi di Hilbert. Altri esempi di spazi Hilbert includono spazi di funzioni quadrate, spazi di sequenze, spazi Sobolev costituiti da funzioni generalizzate e spazi Hardy di funzioni olomorfiche.
Gli spazi Hilbert possono essere utilizzati per studiare le armoniche delle corde vibranti.
Domande e risposte
D: Che cos'è uno spazio di Hilbert?
R: Uno spazio di Hilbert è un concetto matematico che utilizza la matematica di due e tre dimensioni per cercare di descrivere ciò che accade in più di tre dimensioni. Si tratta di uno spazio vettoriale con una struttura di prodotto interno che consente di misurare la lunghezza e l'angolo, e deve anche essere completo per far funzionare il calcolo.
D: Chi ha dato il nome al concetto di spazi di Hilbert?
R: Il concetto di spazi di Hilbert è stato studiato per la prima volta all'inizio del XX secolo da David Hilbert, Erhard Schmidt e Frigyes Riesz. John von Neumann fu colui che ideò il nome "spazio di Hilbert".
D: Quali sono alcune applicazioni degli spazi di Hilbert?
R: Gli spazi di Hilbert sono utilizzati in molte aree come la matematica, la fisica, l'ingegneria, l'analisi funzionale, le equazioni differenziali parziali, la meccanica quantistica, l'analisi di Fourier (che include l'elaborazione dei segnali e il trasferimento di calore), la teoria ergodica (la base matematica della termodinamica), le funzioni integrabili al quadrato, le sequenze, gli spazi di Sobolev costituiti da funzioni generalizzate, gli spazi di Hardy delle funzioni olomorfe.
D: Tutti gli spazi euclidei normali sono considerati spazi di Hilbert?
R: Sì, tutti gli spazi euclidei normali sono considerati spazi di Hilbert.
D: In che modo gli Spazi di Hilbert hanno fatto la differenza per l'analisi funzionale?
R: L'uso degli spazi di Hilbert ha fatto una grande differenza per l'analisi funzionale, fornendo nuovi metodi per studiare i problemi relativi a questo campo.
D: Che tipo di matematica bisogna conoscere quando si lavora con uno Spazio di Hilbert?
R: L'algebra vettoriale e il calcolo vengono normalmente utilizzati quando si lavora con un piano euclideo bidimensionale o con uno spazio tridimensionale; tuttavia, questi metodi possono essere utilizzati anche con qualsiasi numero finito o infinito di dimensioni quando si tratta di uno Spazio di Hilber.
