La trasformata di Fourier è una funzione matematica che può essere utilizzata per trovare le frequenze di base che compongono un segnale o un'onda. Ad esempio, se viene suonato un accordo, l'onda sonora dell'accordo può essere alimentata in una trasformata di Fourier per trovare le note di cui è composto l'accordo. L'uscita di una trasformata di Fourier è talvolta chiamata spettro o distribuzione di frequenza perché visualizza uno spettro delle frequenze dell'ingresso. Questa funzione ha molti usi nella crittografia, nell'oceanografia, nell'apprendimento automatico, nella radiologia, nella fisica quantistica e nella progettazione e visualizzazione del suono.

La trasformata di Fourier di una funzione f ( x ) {\an8} f(x)è data da

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {\fscx130\fscy130\frx40}- F ( α ) = _{-\fscy }^{+\fscy }f(x)e^{-2\pi i\fscy130\fscy130\frx40}dx {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}dx}

α \x22displaystyle \x22alpha\x22è{\displaystyle \alpha }una frequenza\x22

F ( α ) {\an8} {\displaystyle F(\alpha )}è la funzione di trasformazione di Fourier e restituisce un valore che rappresenta la prevalenza della frequenza α {\an8}{\displaystyle \alpha } nel segnale originale.

e - 2 π i α x e^{-2 π i α x ^{-2 π i ^alpha x}} {\displaystyle e^{-2\pi i\alpha x}}Rappresenta l'avvolgimento della funzione d'ingresso f ( x ) {\an8} f(x)intorno all'origine nel piano complesso ad una certa frequenza α {\an8}}displaystyle \alpha \alpha }. {\displaystyle \alpha }

La trasformazione inversa di Fourier è data da

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α α d α {\fscx130\fscy130\frx40}}displaystyle f(x)=_int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha \d\alpha }d {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }d\alpha }

Una trasformata di Fourier mostra quali sono le frequenze di un segnale. Per esempio, si consideri un'onda sonora che contiene tre diverse note musicali: A, B, e C. Fare un grafico della trasformata di Fourier di questa onda sonora (con la frequenza sull'asse delle x e l'intensità sull'asse delle y) mostrerà un picco ad ogni frequenza che corrisponde ad una delle note musicali.

Molti segnali possono essere creati sommando coseni e seni con ampiezza e frequenza variabili. La trasformata di Fourier traccia le ampiezze e le fasi di questi coseni e seni contro le loro rispettive frequenze.

Le trasformazioni di Fourier sono importanti perché molti segnali hanno più senso quando le loro frequenze sono separate. Nell'esempio audio di cui sopra, guardando il segnale rispetto al tempo non è ovvio che le note A, B e C siano nel segnale. Molti sistemi fanno cose diverse a frequenze diverse, quindi questo tipo di sistemi può essere descritto da ciò che fanno ad ogni frequenza. Un esempio di questo è un filtro che blocca le alte frequenze.

Il calcolo di una trasformazione di Fourier richiede la comprensione dell'integrazione e dei numeri immaginari. I computer sono di solito usati per calcolare le trasformazioni di Fourier di tutto tranne che dei segnali più semplici. La trasformata veloce di Fourier è un metodo che i computer usano per calcolare rapidamente una trasformata di Fourier.

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Funzione originale che mostra un segnale oscillante a 3 hertz.

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Parti reali e immaginarie di integrand per Fourier trasformano a 3 hertz

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Parti reali e immaginarie di integrand per Fourier trasformano a 5 hertz

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Trasformazione di Fourier con 3 e 5 hertz etichettati.