Le variabili coniugate sono coppie speciali di variabili (come x, y, z) che non danno lo stesso risultato quando si fa una certa operazione matematica con loro. Ciò significa che x*y non è uguale a y*x. In questo caso, l'* non significa moltiplicazione. Potrebbe significare addizione, sottrazione, divisione, o qualsiasi operazione che abbia senso, in questo caso.
Un fisico, Werner Heisenberg, e i suoi collaboratori hanno usato equazioni studiate in fisica classica per descrivere e prevedere gli eventi della fisica quantistica. Egli scoprì che la quantità di moto (massa per velocità, rappresentata da P) e la posizione (rappresentata da Q) sono variabili coniugate. Ciò significa che P*Q non è uguale a Q*P, in fisica quantistica.
Ecco due equazioni speciali per calcolare l'energia di un elettrone (piccola cosa verde) in un atomo di idrogeno.
La prima equazione potrebbe essere utilizzata per scoprire il prodotto dello slancio e della posizione:
Y ( n , n - b ) = ∑ a p ( n , n - a ) q ( n - a , n - b ) {\an8}(n,n-b)=\an8}(n,n-b)}(n,n-a)q(n-a,n-b)}(n-a,n-b) 
La seconda equazione potrebbe essere utilizzata per calcolare il prodotto della posizione e della quantità di moto:
Z ( n , n - b ) = ∑ a q ( n , n - a ) p ( n - a , n - b ) ( n - a , n - b ) {\an8}(n,n-b)={a}^sum _{a}^, q(n,n-a)p(n-a,n-b)}}(n-a,n-b) 
Qualche tempo dopo, un altro fisico, Max Born, ha scoperto che, poiché P*Q non è uguale a Q*P, il risultato di Q*P meno P*Q non è zero. (Il "meno" non è lo stesso meno di "3 - 2". E' una cosa diversa con lo stesso nome).
Nato scoperto che:
Q ∗ P - P ∗ Q = i h 2 π {Q*P-P*Q={{frac {ih}{2 π }}}} 
[Il simbolo Q è la matrice per la posizione, P è la matrice per la quantità di moto, i è un numero complesso, e h è la costante di Planck, un numero che appare spesso nella meccanica quantistica].
Le variabili coniugate hanno applicazioni in tutta la Fisica, in Chimica e in una serie di altre aree della scienza.